广东省中山市2019-2020学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-10-23 类型：期末考试

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一、单选题

1. “ $x > 0$ ”是“ $x + \frac{1}{x} \geq 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 3 ， a_{5} = 9 ，则 a_{8}$ 的值是（）

A、15 B、16 C、17 D、18

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3. 如图在一个 $120 °$ 的二面角的棱上有两点 $A ， B$ ，线段 $A C ， B D$ 分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱 $A B$ 垂直，若 $A B = \sqrt{2}$ ， $A C = 1$ ， $B D = 2$ ，则 $C D$ 的长为（）.

A、2 B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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4. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} = 2, S_{6} - S_{4} = 6 a_{4}$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、4 B、10 C、16 D、32

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5. 《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如下图形： $A B$ 是半圆 $O$ 的直径，点 $D$ 在半圆周上， $C D ⊥ A B$ 于点 $C$ ，设 $A C = a$ ， $B C = b$ ，直接通过比较线段 $O D$ 与线段 $C D$ 的长度可以完成的“无字证明”为（）

A、 $\frac{b + m}{a + m} > \frac{b}{a} (b > a > 0 ， m > 0)$ B、 $\sqrt{a^{2} + b^{2}} \geq \frac{\sqrt{2}}{2} (a + b) (a > 0 ， b > 0)$ C、 $\frac{2 a b}{a + b} \leq \sqrt{a b} (a > 0 ， b > 0)$ D、 $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b} (a > 0 ， b > 0)$

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6. 已知点 $A$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的右支上一点， $F$ 是右焦点，若 $△ A O F$ （ $O$ 是坐标原点）是等边三角形，则该双曲线的离心率 $e$ 为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $1 + \sqrt{2}$ D、 $1 + \sqrt{3}$

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7. 如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E．从D点测得∠ADC＝67.5°，从C点测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从E点测得∠BEC＝60°．若测得DC＝2 $\sqrt{3}$ ，CE＝ $\sqrt{2}$ (单位：百米)，则A，B两点的距离为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、2 $\sqrt{2}$ C、3 D、2 $\sqrt{3}$

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8. 设动点 $P$ 到点 $A (- 1 ， 0)$ 和 $B (1 ， 0)$ 的距离分别为 $d_{1}$ 和 $d_{2}$ ， $∠ A P B = 2 θ$ ，且存在常数 $λ (0 < λ < 1)$ ，使得 $d_{1} d_{2} \sin^{2} θ = λ$ ，则动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{1 - λ} - \frac{y^{2}}{λ} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{1 - λ} + \frac{y^{2}}{λ} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{1 + λ} - \frac{y^{2}}{λ} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{1 + λ} + \frac{y^{2}}{λ} = 1$

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二、多选题

9. 若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $a b < b^{2}$ C、 $| a | + | b | > | a + b |$ D、 $a^{3} > b^{3}$

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10. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边的长分别为 $a ， b ， c$ ，则满足下面条件的三角形一定为直角三角形的是（）

A、 $\sin A + \sin B = \sin C (\cos A + \cos B)$ B、 $\frac{\tan A}{\tan B} = \frac{a^{2}}{b^{2}}$ C、 $\cos^{2} \frac{B}{2} = \frac{a + c}{2 c}$ D、 $a \cos B - b \cos A = c$

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11. 已知点 $M (3 ， 0)$ 和点 $N (- 3 ， 0)$ ，直线 $P M$ ， $P N$ 的斜率乘积为常数 $a (a \neq 0)$ ，设点 $P$ 的轨迹为 $C$ ，下列说法正确的是（）

A、存在非零常数 $a$ ，使 $C$ 上所有点到两点 $(- 4 ， 0)$ ， $(4 ， 0)$ 距离之和为定值 B、存在非零常数 $a$ ，使 $C$ 上所有点到两点 $(0 ， - 4)$ ， $(0 ， 4)$ 距离之和为定值 C、不存在非零常数 $a$ ，使 $C$ 上所有点到两点 $(- 4 ， 0)$ ， $(4 ， 0)$ 距离之差的绝对值为定值 D、不存在非零常数 $a$ ，使 $C$ 上所有点到两点 $(0 ， - 4)$ ， $(0 ， 4)$ 距离之差的绝对值为定值

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12. 意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2} (n \geq 3 ， n \in N^{*})$ .若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前 $n$ 项所占的格子的面积之和为 $S_{n}$ ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为 $c_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $S_{n + 1} = a_{n + 1}^{2} + a_{n + 1} \cdot a_{n}$ B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n} = a_{n + 2} - 1$ C、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots + a_{2 n - 1} = a_{2 n} - 1$ D、 $4 (c_{n} - c_{n - 1}) = π a_{n - 2} \cdot a_{n + 1}$

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三、双空题

13. 命题 $p ： \exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + 2 x_{0} + 5 = 0$ 是(填“全称命题”或“特称命题”)，它是命题(填“真”或“假”)

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四、填空题

14. 已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有 $\overset{⇀}{O M} = x \overset{⇀}{O A} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{O B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{O C}$ ，则x＝.

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15. 已知直线 $l ： x - y - m = 0$ 经过抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，与 $C$ 交于 $A 、 B$ 两点，若 $| A B | = 6$ ，则 $p$ 的值为．

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16. 若数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n} + a_{n + 1} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n - 1}$ ，若数列 ${a_{n}}$ 的前99项之和为 $3 \sqrt{11}$ ，则 $a_{100} =$ ．

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五、解答题

17. 如图， $D$ 是直角 $Δ A B C$ 斜边 $B C$ 上一点， $A B = A D$ ，记 $∠ C A D = α$ ， $∠ A B C = β$ .

(1)、证明 $\sin α + \cos 2 β = 0$ ；

(2)、若 $A C = \sqrt{3} D C$ ，求 $β$ 的值.

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18. 两城市 $A$ 和 $B$ 相距 $20 k m$ ，现计划在两城市外以 $A B$ 为直径的半圆 $\overset{⌢}{A B}$ 上选择一点 $C$ 建造垃圾处理场，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城 $A$ 和城 $B$ 的总影响度为城 $A$ 和城 $B$ 的影响度之和，记 $C$ 点到城 $A$ 的距离为 $x k m$ ，建在 $C$ 处的垃圾处理场对城 $A$ 和城 $B$ 的总影响度为 $y$ ，统计调查表明：垃圾处理场对城 $A$ 的影响度与所选地点到城 $A$ 的距离的平方成反比，比例系数为4，对城 $B$ 的影响度与所选地点到城 $B$ 的距离的平方成反比，比例系数为 $k$ ，当垃圾处理场建在 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点时，对城 $A$ 和城 $B$ 的总影响度为0.065；

(1)、将 $y$ 表示成 $x$ 的函数；

(2)、判断 $\overset{⌢}{A B}$ 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理场对城 $A$ 和城 $B$ 的总影响度最小?若存在，求出该点到城 $A$ 的距离；若不存在，说明理由；

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = 3 n^{2} + 8 n$ ， ${b_{n}}$ 是等差数列，且 $a_{n} = b_{n} + b_{n + 1}$ .
（Ⅰ）求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）令 $c_{n} = \frac{{(a_{n} + 1)}^{n + 1}}{{(b_{n} + 2)}^{n}}$ .求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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20. 已知直线 $l : x - y + 1 = 0$ 与焦点为F的抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 相切.
（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值.

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21. 在四棱锥 $P — A B C D$ 的底面是菱形， $P O ⊥$ 底面 $A B C D$ ，O，E 分别是 $A D ， A B$ 的中点， $A B = 6 ， A P = 5 ， ∠ B A D = 60 °$ .

（Ⅰ）求证： $A C ⊥ P E$ ；

（Ⅱ）求直线PB与平面 $P O E$ 所成角的正弦值；

（III）在DC边上是否存在点F，使 $B F$ 与 $P A$ 所成角的余弦值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{10}$ ，若存在，确定点F的位置；若不存在，说明理由.

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22. 已知圆 $O$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} = 4$ ，若抛物线 $C$ 过点 $A (- 1 ， 0) ， B (1 ， 0)$ ，且以圆0的切线为准线， $F$ 为抛物线的焦点，点 $F$ 的轨迹为曲线 $C'$ .

(1)、求曲线 $C'$ 的方程；

(2)、过点 $B$ 作直线 $L$ 交曲线 $C'$ 与 $P 、 Q$ 两点， $P 、 P'$ 关于 $x$ 轴对称，请问：直线 $P' Q$ 是否过 $x$ 轴上的定点，如果不过请说明理由，如果过定点，请求出定点 $E$ 的坐标

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