广东省云浮市2019-2020学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-10-23 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知直线 $l$ 经过原点 $O (0 ， 0)$ 和 $A (1 ， 1)$ 两点，则直线 $l$ 的倾斜角是（）

A、30° B、45° C、60° D、120°

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2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{36} = 1$ 的焦距是（）

A、10 B、20 C、 $2 \sqrt{7}$ D、 $4 \sqrt{7}$

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3. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，则点 $F$ 到抛物线 $C$ 的准线的距离是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 命题“ $\exists x_{0} > 0$ ， $x_{0}^{2} - 4 x_{0} + 3 < 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \leq 0$ ， $x^{2} - 4 x + 3 < 0$ B、 $\exists x_{0} \leq 0$ ， $x_{0}^{2} - 4 x_{0} + 3 < 0$ C、 $\forall x > 0$ ， $x^{2} - 4 x + 3 \geq 0$ D、 $\exists x_{0} > 0$ ， $x_{0}^{2} - 4 x_{0} + 3 \geq 0$

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5. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的焦点与椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的焦点相同，则 $m =$ （）

A、1 B、3 C、4 D、5

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6. “ $m = 8$ ”是“椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 若直线 $l ： x + y - a = 0$ 被圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 截得的弦长为4，则 $a =$ （）

A、-3 B、3 C、-1 D、1

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8. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{48} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点P是该双曲线上的一点，且 $| P F_{1} | = 10$ ，则 $| P F_{2} | =$ （）

A、2或18 B、2 C、18 D、4

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9. 设 $a$ ， $b$ 表示两条不同的直线， $α$ ， $β$ 表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $a \subset α$ ， $a ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $a ⊥ α$ ， $a / / b$ ， $b // β$ ，则 $α // β$ C、若 $a // α$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $b ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $a \subset α$ ， $b // α$ ，则 $a / / b$

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10. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $P A$ ， $C D$ 的中点，设 $\vec{P A} = \vec{a}$ ， $\vec{P B} = \vec{b}$ ， $\vec{P C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{E F} =$ （）

A、 $\frac{1}{4} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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11. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，点 $A$ 是椭圆 $C$ 的上顶点，直线 $l ： y = 2 x$ 与椭圆 $C$ 交于 $M$ 、 $N$ 两点.若点 $A$ 到直线 $l$ 的距离是1，且 $| M F | + | N F | = 6$ ，则椭圆 $C$ 的离心率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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12. 已知菱形 $A B C D$ 的边长为 $2 \sqrt{3}$ ， $∠ A = 60 °$ ，把菱形 $A B C D$ 沿着对角线 $B D$ 折成二面角 $A - B D - C$ 为 $120 °$ 的空间四边形，则该空间四边形外接球的表面积为（）

A、 $4 π$ B、 $12 π$ C、 $28 π$ D、 $196 π$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (- 2 ， 3 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 2 ， 4)$ ，则 $\vec{a} + \vec{b} =$ .

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14. 若直线 $l_{1}$ ： $(a - 1) x + 2 y - 3 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $x - 3 a y + 1 = 0$ 互相垂直，则 $a =$ .

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15. 直线 $l ： y = k x + 2$ 与椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 有公共点，则 $k$ 的取值范围是．

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16. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ ，点 $Q$ 在 $x$ 轴上，直线 $l$ ： $(m - 2) x - y - 2 m + 4 = 0$ 与抛物线 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，若直线 $Q M$ 与直线 $Q N$ 的斜率互为相反数，则点 $Q$ 的坐标是.

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三、解答题

17. 已知直线 $l$ 经过点 $A (1 ， 3)$ ，斜率 $k = 1$ .

(1)、求直线 $l$ 的方程；

(2)、求圆心在原点，且经过直线 $l$ 与 $y$ 轴的交点 $B$ 的圆的方程.

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18. 已知空间三点 $A (2 ， 1 ， 0)$ ， $B (2 ， 2 ， 1)$ ， $C (0 ， 1 ， 2)$ .

(1)、求 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的值；

(2)、若 $(\vec{A B} + k \vec{A C}) ⊥ (\vec{A B} + \vec{A C})$ ，求 $k$ 的值

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19. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ，底面 $A B C$ 是边长为2的等边三角形， $M$ 为 $A A_{1}$ 的中点，点 $P$ 为 $A M$ 的中点， $Q$ 在线段 $C A_{1}$ 上，且 $A_{1} Q = 3 Q C$ .

(1)、证明： $P Q //$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求点 $Q$ 到平面 $A B M$ 的距离.

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20. 已知抛物线 $C : x^{2} = 8 y$ 的焦点为F，直线l与抛物线C交于 $M, N$ 两点.

(1)、若直线l的方程为 $y = x + 3$ ，求 $| M F | + | N F |$ 的值；

(2)、若直线l的斜率为2，l与y轴的交点为P，且 $\overset{⇀}{M P} = 2 \overset{⇀}{N P}$ ，求 $| M N |$ .

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B ⊥ A D$ ， $A D / / B C$ ， $P A = P B = P D$ ， $P E = 2 E C$ ，O为 $B D$ 的中点.

(1)、证明： $O P ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $A B = 2$ ， $B C = 2 A D = 4 \sqrt{3}$ ， $P A = 4$ ，求二面角 $C - B D - E$ 的余弦值.

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22. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{2}$ ，点 $A$ 在椭圆 $E$ 上，且 $| O A |$ 的最小值是 $\sqrt{2}$ （ $O$ 为坐标原点）.

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程.

(2)、已知动直线 $l$ 与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = t^{2} (t > 0)$ 相切，且与椭圆 $E$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点.是否存在实数 $t$ ，使得 $O P ⊥ O Q$ ？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由.

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