广东省汕尾市2019-2020学年高二上学期数学期末教学质量监测试卷

试卷更新日期：2020-10-23 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集 $U={1,2,3,4,5,6}, A = {1, 2}, B = {2, 3, 4}$ ，则 $A \cap (C_{U} B) =$ （）

A、 ${1,2,5,6}$ B、 ${1}$ C、 ${2}$ D、 ${1,2,3,4}$

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2. 命题“ $\forall x \geq 1$ ， $x^{2} - 2 x + 1 \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x_{0} < 1$ ， $x_{0}^{2} - 2 x_{0} + 1 \leq 0$ B、 $\exists x_{0} < 1$ ， $x_{0}^{2} - 2 x_{0} + 1 < 0$ C、 $\exists x_{0} \geq 1$ ， $x_{0}^{2} - 2 x_{0} + 1 \leq 0$ D、 $\exists x_{0} \geq 1$ ， $x_{0}^{2} - 2 x_{0} + 1 < 0$

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3. 下列函数中，在其定义域内与函数 $y = x$ 有相同的奇偶性和单调性的是（）

A、 $y = - \frac{1}{x}$ B、 $y = 3^{x}$ C、 $y = \ln | x |$ D、 $y = 2^{x} - \frac{1}{2^{x}}$

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4. 圆 $C ： x^{2} + y^{2} + x - 6 y + 3 = 0$ 上有两点A，B关于直线 $k x - y + 4 = 0$ 对称，则k=（）

A、2 B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、不存在

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5. 某种产品的广告费支出 $x$ （单位：万元）与销售额 $y$ （单位：万元）之间的关系如表：

x

2

4

5

6

8

y

30

40

60

50

70

若已知 $y$ 与 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = 6.5 x + 17.5$ ，那么当广告费支出为6万元时，随机误差的效应（残差）为（）万元，（残差 $＝ |$ 真实值 $﹣$ 预测值 $|$ ）

A、17.5 B、6.5 C、24.5 D、56.5

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6. 中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他门各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则羊主人应偿还多少升粟？（）

A、 $\frac{25}{3}$ B、 $\frac{50}{3}$ C、 $\frac{50}{7}$ D、 $\frac{100}{7}$

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7. 函数 $g (x)$ 的图象是由 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{2})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到的，则 $g (x)$ 图象的一条对称轴方程是（）

A、 $x = - \frac{π}{6}$ B、 $x = \frac{π}{6}$ C、 $x = - \frac{π}{12}$ D、 $x = \frac{π}{12}$

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8. 已知平面向量 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b} = (- 2, m)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $| \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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9. 已知 $a > b > 0$ ，椭圆 $C_{1}$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，双曲线 $C_{2}$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ， $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的离心率之积为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，则 $C_{2}$ 的渐近线方程为（）

A、 $x \pm \sqrt{3} y = 0$ B、 $\sqrt{2} x \pm y = 0$ C、 $x \pm \sqrt{2} y = 0$ D、 $\sqrt{3} x \pm y = 0$

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10. 设函数的定义域为 $D$ ，若满足条件：存在 $[a ， b] \subseteq D$ ，使 $f (x)$ 在 $[a ， b]$ 上的值域为 $[\frac{a}{2} ， \frac{b}{2}]$ ，则称 $f (x)$ 为“倍缩函数”．若函数 $f (x) = e^{x} + \frac{t}{2}$ 为“倍缩函数”，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1 - \ln 2]$ B、 $(- \infty ， - 1 - \ln 2)$ C、 $[1 + \ln 2 ， + \infty)$ D、 $(1 + \ln 2 ， + \infty)$

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二、多选题

11. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $B C$ ， $C D$ 的中点， $G$ 是 $E F$ 的中点．现在沿 $A E$ ， $A F$ 及 $E F$ 把这个正方形折成一个空间图形，使 $B$ ， $C$ ， $D$ 三点重合，重合后的点记为 $H$ ，下列说法正确的是（）

A、 $A G ⊥$ 平面 $E F H$ B、 $A H ⊥$ 平面 $E F H$ C、 $H F ⊥$ 平面 $A E H$ D、 $H G ⊥$ 平面 $A E F$

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12. 如图是函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象，则（）

A、在 $x = - 2$ 时，函数 $y = f (x)$ 取得极值 B、在 $x = 1$ 时，函数 $y = f (x)$ 取得极值 C、 $y = f (x)$ 的图象在 $x = 0$ 处切线的斜率小于零 D、函数 $y = f (x)$ 在区间 $(- 2 ， 2)$ 上单调递增

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = f^{'} (1) x^{2} + 2 x$ ，则 $f^{'} (1) =$ ．

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14. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的两个焦点，过 $F_{1}$ 的直线交椭圆于 $A$ ， $B$ 两点，若 $| F_{2} A | + | F_{2} B | = 14$ ，则 $| A B | =$ ．

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15. $△ A B C$ 的三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{a^{2} - {(b - c)}^{2}}{b c} = 1$ ，则角 $A =$ ．

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16. 如图，三棱锥 $A - B C D$ 的所有顶点都在球 $O$ 的表面上，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $B C = C D = A D = 1$ ， $B D = \sqrt{2}$ ， $A B = \sqrt{3}$ ，则球 $O$ 的表面积为．

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四、解答题

17. 已知命题 $p : \frac{x^{2}}{m - 1} + \frac{y^{2}}{m - 4} = 1$ 表示双曲线，命题 $q : \frac{x^{2}}{m - 2} + \frac{y^{2}}{4 - m} = 1$ 表示椭圆．

(1)、若命题 $p$ 为真命题，求实数 $m$ 的取值范围．

(2)、判断命题 $p$ 为真命题是命题 $q$ 为真命题的什么条件（请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和 “既不充分也不必要条件”中的哪一个）．

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18. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{5} = 4 S_{2}$ ， $a_{2 n} = 2 a_{n} - 1$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{2 (a_{n} - 1) a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $(2 c - b) \cos A = a \cos B$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小：

(2)、若 $a = \sqrt{7}$ ， $b = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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20. 如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中，平面 $S B C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $S B = S C = A B = A C = \sqrt{2}$ ， $B C = 2$ ，若 $O$ 为 $B C$ 的中点.

(1)、证明： $S O ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求异面直线 $A B$ 和 $S C$ 所成角；

(3)、设线段 $S O$ 上有一点 $M$ ，当 $A M$ 与平面 $S A B$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{30}}{15}$ 时，求 $O M$ 的长.

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21. 已知直线 $l_{1}$ ： $x + y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $x + y + 3 = 0$ 的距离为 $a$ ，椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、在（1）的条件下，抛物线 $D$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 与点 $(- \frac{1}{8}, 2)$ 关于 $y$ 轴上某点对称，且抛物线 $D$ 与椭圆 $C$ 在第四象限交于点 $Q$ ，过点 $Q$ 作抛物线 $D$ 的切线，求该切线方程并求该直线与两坐标轴围成的三角形面积.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \cos x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、证明： $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{2} ， + \infty)$ 上有且仅有2个零点.

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