广东省惠州市2019-2020学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-10-23 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若复数 $z = \frac{i}{1 - i}$ （其中 $i$ 为虚数单位），则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 1 + i$ B、 $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$

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2. 设命题 $P ： \exists n \in N ， n^{2} > 2^{n}$ ，则 $\neg P$ 为（）

A、 $\forall n \in N ， n^{2} > 2^{n}$ B、 $\exists n \in N ， n^{2} \leq 2^{n}$ C、 $\forall n \in N ， n^{2} \leq 2^{n}$ D、 $\exists n \in N ， n^{2} = 2^{n}$

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3. 已知双曲线方程为 $x^{2} - 4 y^{2} = 4$ ，则其渐近线方程为（）

A、 $y = 2 x$ B、 $y = \frac{1}{2} x$ C、 $y = \pm 2 x$ D、 $y = \pm \frac{1}{2} x$

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4. 设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( )

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过体重指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过体重指标的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{10}$

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6. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E为上底面A₁C₁的中心，若 $\vec{A E} = \vec{A A_{1}} + x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ，则x，y的值是（）

A、 $x = \frac{1}{2}$ ， $y = \frac{1}{2}$ B、 $x = 1$ ， $y = \frac{1}{2}$ C、 $x = \frac{1}{2}$ ， $y = 1$ D、 $x = 1$ ， $y = 1$

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7. 已知点 $F$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左焦点，点 $E$ 是该双曲线的右顶点，过 $F$ 作垂直于 $x$ 轴的直线与双曲线交于 $G$ 、 $H$ 两点，若 $△ G H E$ 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 $e$ 的取值范围是（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 1 + \sqrt{2})$ D、 $(1, 1 + \sqrt{2})$

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8. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $A B = B C = C C_{1} = 2$ ，则异面直线 $A B_{1}$ 与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{15}}{4}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$

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9. 定长为3的线段 $A B$ 的两个端点在抛物线 $y^{2} = 2 x$ 上移动， $M$ 为线段 $A B$ 的中点，则 $M$ 点到 $y$ 轴的最短距离为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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10. 若函数 $f (x) = e^{x} (sin x + a cos x)$ 在 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 1]$ B、 $(- \infty ， 1)$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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二、多选题

11. 不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事件是（）.

A、2张卡片都不是红色 B、2张卡片恰有一张红色 C、2张卡片至少有一张红色 D、2张卡片都为绿色

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12. 若方程 $\frac{x^{2}}{3 - t} + \frac{y^{2}}{t - 1} = 1$ 所表示的曲线为 $C$ ，则下面四个选项中错误的是（）

A、若 $C$ 为椭圆，则 $1 < t < 3$ B、若 $C$ 是双曲线，则其离心率有 $1 < e < \sqrt{2}$ C、若 $C$ 为双曲线，则 $t > 3$ 或 $t < 1$ D、若 $C$ 为椭圆，且长轴在 $y$ 轴上，则 $1 < t < 2$

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三、填空题

13. 空间向量 $\overset{⇀}{a} = (2 ， 3 ， - 2)$ ， $\overset{⇀}{b} = (2 ， - m ， - 1)$ ，若 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则 $m =$ ．

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14. 已知两个事件A 和B互斥，记事件 $\overset{__}{B}$ 是事件 $B$ 的对立事件，且 $P (A) = 0.3$ ， $P (\overset{__}{B}) = 0.6$ ，则 $P (A \cup B) =$ ．

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15. 定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (1) = 1$ ，且 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x) > \frac{1}{2}$ ，则不等式 $2 f (x) < x + 1$ 的解集为．

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四、双空题

16. 椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ 上的一点 $P$ 到两焦点的距离的乘积为 $m$ ，则 $m$ 的最大值为，此时点 $P$ 的坐标为．

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五、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \lg (- x^{2} + 7 x - 10)$ 的定义域为 $A$ ，关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - 5 a x + 4 a^{2} < 0$ （其中 $a > 0$ ）的解集为 $B$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = a \ln x - b x^{2}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $y = - \frac{1}{2}$ ．

(1)、求实数 $a ， b$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{e} ， e]$ 上的最大值．

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19. 惠州市某学校需要从甲、乙两名学生中选1人参加数学竞赛，抽取了近期两人5次数学考试的分数，统计结果如下表：

	第一次	第二次	第三次	第四次	第五次
甲	80	85	71	92	87
乙	90	76	75	92	82

(1)、若从甲、乙两人中选出1人参加数学竞赛，你认为选谁合适？请说明理由.

(2)、若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中答题方案如下：

每人从5道备选题中随机抽取3道作答，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被淘汰.假设被选中参赛的学生只会5道备选题中的3道，求该学生能进人复赛的概率.

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20. 矩形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ，点 $E$ 为 $A D$ 中点，沿 $B E$ 将 $Δ A B E$ 折起至 $Δ P B E$ ，如下图所示，点 $P$ 在面 $B C D E$ 的射影 $O$ 落在 $B E$ 上.

（Ⅰ）求证： $B P ⊥ C E$ ；

（Ⅱ）求二面角 $B - P C - D$ 的余弦值.

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21. 已知椭圆与抛物线y²＝ $4 \sqrt{2}$ x有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、过点P(0，1)的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若 $\overset{⇀}{A P} = 2 \overset{⇀}{P B}$ ，求△AOB的面积．

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x + x + 1$ ， $g (x) = x^{2} + 2 x$ .
（Ⅰ）求函数 $y = f (x) - g (x)$ 的极值；

（Ⅱ）若实数 $m$ 为整数，且对任意的 $x > 0$ 时，都有 $f (x) - m g (x) \leq 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的最小值.

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