广东省广州市天河区2019-2020学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-10-23 类型：期末考试

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一、单选题

1. 数列 $- \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{4}$ ， $- \frac{1}{8}$ ， $\frac{1}{16}$ ， $\dots$ 的一个通项公式是（）

A、 $- \frac{1}{2^{n}}$ B、 $\frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n}}$ C、 $\frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2^{n}}$ D、 $\frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n - 1}}$

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2. 某个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天它飞出去带回了五个伙伴，第二天六只蜜蜂飞出去各自带回五个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是（）

A、 $5^{6}$ 只 B、 $6^{5}$ 只 C、 $5^{5}$ 只 D、 $6^{6}$ 只

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3. 已知命题p: $\exists$ $x \in R, \ln x + x - 2 = 0$ ,命题q: $\forall$ $x \in R, 2^{x} \geq x^{2}$ ,则下列命题中为真命题的是（）

A、p∧q B、 $\neg$ p∧q C、p∧ $\neg$ q D、 $\neg$ p∧ $\neg$ q

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4. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{4} + a_{5} = 24$ ， $S_{6} = 48$ ，则 ${a_{n}}$ 的公差为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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5. $Δ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a \sin \frac{A + C}{2} = b \sin A$ ，则 $\cos B =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 互相平行的一个充分条件是（）

A、 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 都平行于同一个平面 B、 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 与同一个平面所成的角相等 C、 $l_{1}$ 平行于 $l_{2}$ 所在的平面 D、 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 都垂直于同一个平面

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7. 如图所示，一艘海轮从 $A$ 处出发，测得 $B$ 处的灯塔在海轮的正北方向20海里处，海轮按西偏南15%的方向航行了10分钟后到达 $C$ 处，此时测得灯塔在海轮的北偏东 $30 °$ 的方向，则海轮的速度为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ 海里/分 B、2海里/分 C、 $\sqrt{3}$ 海里/分 D、 $\sqrt{2}$ 海里/分

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8. 祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式 $V_{柱体} = S h$ ，其中 $S$ 是柱体的底面积， $h$ 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（）

A、158 B、162 C、182 D、32

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9. 过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $A$ 、 $B$ 两点，交其准线于点 $C$ ，若 $| A F | = 4$ ， $| B C | = 2 | B F |$ ，且 $| A F | > | B F |$ ，则此抛物线的方程为（）

A、 $y^{2} = x$ B、 $y^{2} = 2 x$ C、 $y^{2} = 4 x$ D、 $y^{2} = 8 x$

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10. 四面体 $A B C D$ 中， $A B$ ， $B C$ ， $B D$ 两两垂直，且 $A B = B C = 1$ ，点 $E$ 是 $A C$ 的中点，异面直线 $A D$ 与 $B E$ 所成角为 $θ$ ，且 $\cos θ = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，则该四面体的体积为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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11. 以下几种说法
①命题“ $\exists a > 0$ ，函数 $f (x) = a x^{2} + 2 x - 1$ 只有一个零点”为真命题②命题“已知 $x$ ， $y \in R$ ，若 $x + y \neq 3$ ，则 $x \neq 2$ 或 $y \neq 1$ ”是真命题③“ $x^{2} + 2 x \geq a x$ 在 $x \in [1, 2]$ 恒成立”等价于“对于 $x \in [1, 2]$ ，有 ${(x^{2} + 2 x)}_{\min} \geq {(a x)}_{\max}$ ”④ $Δ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则“ $a > b$ ”是“ $c o s 2 A < c o s 2 B$ ”的充要条件.

其中说法正确的序号为（）

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

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12. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 且斜率为 $\frac{24}{7}$ 的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若 $(\overset{⇀}{F_{2} F_{1}} + \overset{⇀}{F_{2} A}) \cdot \overset{⇀}{F_{1} A} = 0$ ，则此双曲线的标准方程可能为（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{24} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

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二、填空题

13. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的焦点到渐近线的距离为．

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14. 在 $Δ A B C$ 中， $A B = 1$ ， $A C = \sqrt{2}$ ， $∠ B = \frac{π}{4}$ ，则 $∠ C =$ ．

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15. 已知三棱锥 $A - B C D$ 每条棱长都为 $1$ ，点 $E$ ， $G$ 分别是 $A B$ ， $D C$ 的中点，则 $\vec{G E} \cdot \vec{A C} =$ ．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $n a_{n + 1} = (n + 1) a_{n} + n (n + 1)$ ， $n \in N^{*}$ ，且 $b_{n} = \sqrt{a_{n}} \cos \frac{2 n π}{3}$ ，记 $S_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则 $S_{2020} =$ ．

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{5} - a_{2} = 6$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{6}$ ， $a_{21}$ 依次成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = \frac{3}{35}$ ，求 $n$ 的值.

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18. 已知 $Δ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b = a \cos C + c \sin A$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{2}$ ，求 $Δ A B C$ 面积的最大值.

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19. 已知 $m$ 为实数，命题 $p :$ 方程 $\frac{x^{2}}{2 m - 1} - \frac{y^{2}}{m - 4} = 1$ 表示双曲线；
命题 $q :$ 函数 $f (x) = \lg (m x^{2} - x + \frac{1}{4} m)$ 的定义域为 $R$ .

(1)、若命题 $p$ 为真命题，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若命题 $p$ 与命题 $q$ 有且只有一个为真命题，求实数 $m$ 的取值范围.

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，动点 $P$ 到点 $F (1, 0)$ 的距离和它到直线 $x = - 1$ 的距离相等，记点 $P$ 的轨迹为 $C$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设点 $A$ 在曲线 $C$ 上， $x$ 轴上一点 $B$ （在点 $F$ 右侧）满足 $| A F | = | F B |$ ，若平行于 $A B$ 的直线与曲线 $C$ 相切于点 $D$ ，试判断直线 $A D$ 是否过点 $F (1, 0)$ ？并说明理由.

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21. 如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3 \sqrt{5}$ ， $B C = 2 \sqrt{5}$ ，点 $E$ 、 $P$ 分别在线段 $D C$ 、 $B C$ 上，且 $D E = \sqrt{5}$ ， $D P = \frac{15}{2}$ ，现将 $Δ A E D$ 沿 $A E$ 折到 $Δ A E D'$ 的位置，连结 $C D'$ ， $B D'$ ，如图2

(1)、证明： $A E ⊥ D' P$ ；

(2)、记平面 $A D' E$ 与平面 $B C D'$ 的交线为 $l$ .若二面角 $B - A E - D'$ 为 $\frac{2 π}{3}$ ，求 $l$ 与平面 $D' C E$ 所成角的正弦值.

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22. 已知椭圆 $C : x^{2} + 2 y^{2} = 36$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的短轴长和离心率；

(2)、过点 $(2, 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于两点 $M$ ， $N$ ，设 $M N$ 的中点为 $T$ ，点 $P (4, 0)$ ，判断 $| T P |$ 与 $| T M |$ 的大小，并证明你的结论.

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