广东省广州市八区2019-2020学年高二上学期数学期末教学质量监测试卷

试卷更新日期：2020-10-23 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} + 3 x - 4 < 0}$ ， $B = {x | 2 x + 3 \geq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 4, - \frac{3}{2}]$ B、 $[- \frac{3}{2}, - 1)$ C、 $[- \frac{3}{2}, 1)$ D、 $[\frac{3}{2}, 4)$

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2. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (3, - 1, 2)$ ， $\overset{⇀}{b} = (- 6, 2, t)$ ，且 $\overset{⇀}{a} ∥ \overset{⇀}{b}$ ，则 $t =$ （）

A、10 B、 $-$ 10 C、4 D、 $-$ 4

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3. 双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的焦距为（）

A、10 B、 $\sqrt{7}$ C、 $2 \sqrt{7}$ D、5

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4. 设命题p： $\forall x \in [0, 1]$ ，都有 $x^{2} - 1 \leq 0$ ，则 $\neg p$ 为（）.

A、 $\exists x_{0} \in [0, 1]$ ，使 $x_{0}^{2} - 1 \leq 0$ B、 $\forall x \in [0, 1]$ ，都有 $x^{2} - 1 \leq 0$ C、 $\exists x_{0} \in [0, 1]$ ，使 $x_{0}^{2} - 1 > 0$ D、 $\forall x \in [0, 1]$ ，都有 $x^{2} - 1 > 0$

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5. 若 $a, b, c, d$ 为实数，则下列命题正确的是（）

A、若 $a < b$ ，则 $a | c | < b | c |$ B、若 $a c^{2} < b c^{2}$ ，则 $a < b$ C、若 $a < b$ ， $c < d$ ，则 $a - c < b - d$ D、若 $a < b$ ， $c < d$ ，则 $a c < b d$

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6. 已知 $\overset{⇀}{n}$ 为平面 $α$ 的一个法向量， $l$ 为一条直线，则“ $l ⊥ \overset{⇀}{n}$ ”是“ $l / / α$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = a$ ， $A A_{1} = \sqrt{3} a$ ，则异面直线 $A C_{1}$ 与 $C D_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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8. 已知各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 为等比数列， $S_{n}$ 是它的前 $n$ 项和，若 $S_{3} = 7 a_{3}$ ，且 $a_{2}$ 与 $a_{4}$ 的等差中项为5，则 $S_{5} =$ （）

A、29 B、31 C、33 D、35

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9. 命题“若 ${a_{n}}$ 是等比数列，则 $\frac{a_{n}}{a_{n - k}} = \frac{a_{n + k}}{a_{n}}$ （ $n > k$ 且 $n, k \in N^{*}$ ）的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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10. 双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，点 $P$ 在 $C$ 的一条渐近线上， $O$ 为坐标原点，若 $P O ⊥ P F$ ,则 $△ P F O$ 的面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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11. 为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，该项目由长方形核心喷泉区 $A B C D$ （阴影部分）和四周绿化带组成.规划核心喷泉区 $A B C D$ 的面积为 $1000 m^{2}$ ，绿化带的宽分别为 $2 m$ 和 $5 m$ （如图所示）.当整个项目占地 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 面积最小时，则核心喷泉区 $B C$ 的长度为（）

A、20m B、50m C、 $10 \sqrt{10} m$ D、100m

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12. 在三棱锥 $D - A B C$ 中， $A B = B C = 2 \sqrt{2}$ ， $D A = D C = A C = 4$ ，平面 $A D C ⊥$ 平面 $A B C$ ，点 $M$ 在棱 $B C$ 上，且 $D C$ 与平面 $D A M$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，则 $A M =$ （）

A、 $\frac{4}{3} \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{2}{3} \sqrt{26}$

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二、填空题

13. 已知实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - 1 \geq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \\ 3 x - y - 3 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值为．

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14. 某学校启动建设一个全新的信息化“未来报告厅”，该报告厅的座位按如下规则排列：从第二排起，每一排都比前一排多出相同的座位数，且规划第7排有20个座位，则该报告厅前13排的座位总数是．

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15. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点，点 $P$ 为 $C$ 上一点， $O$ 为坐标原点， $△ P O F_{2}$ 为正三角形，则 $C$ 的离心率为．

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16. 如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A A_{1} = 1$ ， $∠ B A D = ∠ D A A_{1} = ∠ B A A_{1} = 60^{°}$ ，则 $B D_{1} =$ ．

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三、解答题

17. 记 $S_{n}$ 为公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1}^{2} = a_{9}^{2}$ ， $S_{6} = 18$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ 的最大值及对应 $n$ 的大小.

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18. 已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是x轴，并且经过点 $(1 ， - 2)$ ，抛物线C的焦点为F，准线为l.

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、过F且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线h与抛物线C相交于两点A、B，过A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为D、E，求四边形 $A B E D$ 的面积.

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $P B = P D$ .

(1)、证明：平面 $A P C ⊥$ 平面 $B P D$ ；

(2)、若 $P B ⊥ P D$ ， $∠ D A B = 60 °$ ， $A P = A B = 2$ ，求二面角 $A - P D - C$ 的余弦值.

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20. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} (n \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 2$ ， $b_{n} = 3 b_{n - 1} + 2 (n \geq 2, n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求证：数列 ${b_{n} + 1}$ 是等比数列；

(3)、设数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n} + 1}$ ，其前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < 1$ .

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21. 如图，已知圆 $A$ ： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16$ ，点 $B (1 ， 0)$ 是圆 $A$ 内一个定点，点 $P$ 是圆上任意一点，线段 $B P$ 的垂直平分线 $l_{1}$ 和半径 $A P$ 相交于点 $Q$ .当点 $P$ 在圆上运动时，点 $Q$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、设过点 $D (4 ， 0)$ 的直线 $l_{2}$ 与曲线 $C$ 相交于 $M ， N$ 两点（点 $M$ 在 $D ， N$ 两点之间）.是否存在直线 $l_{2}$ 使得 $\overset{⇀}{D N} = 2 \overset{⇀}{D M}$ ？若存在，求直线 $l_{2}$ 的方程；若不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - m x + (m + n) (m, n \in R)$ .

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $(- 3, 1)$ ，求实数 $m, n$ 的值；

(2)、设 $m = - 2$ ，若不等式 $f (x) > - n^{2} + 3 n$ 对 $\forall x \in R$ 都成立，求实数 $n$ 的取值范围；

(3)、若 $n = 3$ 且 $x \in (1, + \infty)$ 时，求函数 $f (x)$ 的零点.

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