广东省东莞市2019-2020学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-10-23 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ,且 $b = 2, B = 45 °, C = 120 °$ ，则边 $c =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{6}$

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2. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 2 \end{array}$ ，则目标函数 $z = x - y$ 的最大值是（）

A、2 B、1 C、-1 D、-2

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3. 糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为 $c = \frac{糖的质量 b 克}{糖水的质量 a 克} (a > b)$ ，向糖水（不饱和）中再加入 $m$ 克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反应这一事实的不等关系为（）

A、 $\frac{b}{a} > \frac{b + m}{a + m}$ B、 $\frac{b}{a} < \frac{b + m}{a + m}$ C、 $\frac{b}{a} > \frac{b + m}{a}$ D、 $\frac{b}{a} < \frac{b + m}{a}$

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4. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、 $y = \pm \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm 2 x$ D、 $y = \pm \sqrt{3} x$

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，且 $a_{3} + a_{13} = 50, a_{6} = 19$ ，则 $a_{2} =$ （）

A、3 B、4 C、7 D、8

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6. 已知a,b为实数，则“ $0 < a b < 2$ ”是“ $a < \frac{2}{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第4天走的路程为（）

A、96里 B、48里 C、24里 D、12里

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8. 如图，已知三棱锥 $O - A B C$ ，点 $M ， N$ 分别是 $O A ， B C$ 的中点，点 $G$ 为线段 $M N$ 上一点，且 $M G = 2 G N$ ，若记 $\overset{⇀}{O A} = \overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{O B} = \overset{⇀}{b} ， \overset{⇀}{O C} = \overset{⇀}{c}$ ，则 $\overset{⇀}{O G} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \overset{⇀}{a} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{b} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{c}$ B、 $\frac{1}{3} \overset{⇀}{a} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{b} + \frac{1}{6} \overset{⇀}{c}$ C、 $\frac{1}{6} \overset{⇀}{a} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{b} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{c}$ D、 $\frac{1}{6} \overset{⇀}{a} + \frac{1}{6} \overset{⇀}{b} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{c}$

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9. 已知实数 $a > 0, b > 0,$ 且 $\frac{1}{a} + 2 b = 2$ ，则 $\frac{b}{a}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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10. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的左、右焦点， $P$ 为 $C$ 上异于顶点的点．直线 $l$ 分别与 $P F_{1}$ ， $P F_{2}$ 为直径的圆相切于 $A$ ， $B$ 两点，则 $| A B | = ($ $)$

A、 $\sqrt{7}$ B、3 C、4 D、5

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二、多选题

11. 四边形 $A B C D$ 内接于圆 $O$ ， $A B = C D = 5 ， A D = 3 ， ∠ B C D = 60^{\circ}$ ，下列结论正确的有（）

A、四边形 $A B C D$ 为梯形 B、圆 $O$ 的直径为7 C、四边形 $A B C D$ 的面积为 $\frac{55 \sqrt{3}}{4}$ D、 $Δ A B D$ 的三边长度可以构成一个等差数列

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12. 我们通常称离心率为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $A_{1} ， A_{2} ， B_{1} ， B_{2}$ 为顶点， $F_{1} ， F_{2}$ 为焦点， $P$ 为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆 $C$ 为“黄金椭圆”的有（）

A、 $| A_{1} F_{1} | ， | F_{1} F_{2} | ， | F_{2} A_{2} |$ 为等比数列 B、 $∠ F_{1} B_{1} A_{2} = 90 °$ C、 $P F_{1} ⊥ x$ 轴，且 $P O // A_{2} B_{1}$ D、四边形 $A_{1} B_{2} A_{2} B_{1}$ 的内切圆过焦点 $F_{1} ， F_{2}$

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三、填空题

13. 抛物线 $x^{2} = \frac{1}{2} y$ 上的一点 $M$ 到焦点的距离为2，则点 $M$ 的纵坐标是.

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14. 如图，以长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的顶点 $D$ 为坐标原点，过 $D$ 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 $\overset{⇀}{D B_{1}}$ 的坐标为 $(2 ， 3 ， 4)$ ，则 $\overset{⇀}{A C_{1}}$ 的坐标为.

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15. 已知命题“ $\forall x \in [1, 3],$ 不等式 $x^{2} - a x + 4 \geq 0$ ”为真命题，则 $a$ 的取值范围为.

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四、双空题

16. 斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.它是这样一个数列： $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55$ ……在数学上，斐波那契数列以如下递推的方法定义： $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2} (n \geq 3, n \in N^{*})$ ，记其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，设 $a_{2019} = t$ （ $t$ 为常数），则 $S_{2017} + S_{2016} - S_{2015} - S_{2014} =$ （用 $t$ 表示）， $S_{2017} - a_{2019} =$ (用常数表示)

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五、解答题

17. 已知 $p : x^{2} - x - 6 \geq 0,$ $q : x^{2} - (2 m + 1) x + m^{2} + m \leq 0$ .

(1)、若 $m = 2,$ 且 $p \land q$ 为真，求实数 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $q$ 是 $p$ 的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} = 4$ ， $a_{3} a_{4} = 128$ ，数列 ${a_{n} b_{n}}$ 是首项为 $1$ 公差为 $1$ 的等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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19. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $b \sin B = a \sin A - (b + c) \sin C$ .

(1)、求角 $A$ 的大小.

(2)、若 $B C$ 边上的中线 $A D = 2 \sqrt{3}$ ，且 $S_{Δ A B C} = 2 \sqrt{3}$ ，求 $Δ A B C$ 的周长.

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20. 如图，已知斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B C A = 90 ° ， A C = B C = 2$ ， $A_{1}$ 在底面 $A B C$ 上的射影恰为 $A C$ 的中点 $D$ ，且 $A_{1} D = \sqrt{3}$ .

(1)、求证： $A_{1} B ⊥ A C_{1}$ ；

(2)、求直线 $A_{1} B$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 所成角的正弦值；

(3)、在线段 $C_{1} C$ 上是否存在点 $M$ ，使得二面角 $M - A_{1} B_{1} - C_{1}$ 的平面角为 $90 °$ ？若存在，确定点 $M$ 的位置；若不存在，请说明理由.

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21. 在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻：“2019年8月16日上午，423米的东莞第一高楼民盈国贸中心2号楼（以下简称“国贸中心”）正式封顶，随着最后一方混凝土浇筑到位，标志着东莞最高楼纪录诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线，比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134米.”在同学们的惊叹中，老师提出了问题：国贸中心真有这么高吗？我们能否运用所学知识测量验证一下？一周后，两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案.
第一小组采用的是“两次测角法”：他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的 $A$ 点测得国贸中心顶部的仰角为 $α$ ，正对国贸中心前进了 $s$ 米后，到达 $B$ 点，在 $B$ 点测得国贸中心顶部的仰角为 $β$ ，然后计算出国贸中心的高度（如图）.

第二小组采用的是“镜面反射法”：在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼（与国贸中心处于同一水平面，每层约3米）楼顶天台上，进行两个操作步骤：①将平面镜置于天台地面上，人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置，测量出人与镜子的距离为 $a_{1}$ 米；②正对国贸中心，将镜子前移 $a$ 米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距离为 $a_{2}$ 米.然后计算出国贸中心的高度（如图）.

实际操作中，第一小组测得 $s = 90$ 米， $α = 42 °$ ， $β = 48 °$ ，最终算得国贸中心高度为 $H_{1}$ ；第二小组测得 $a_{1} = 1.45$ 米， $a = 12$ 米， $a_{2} = 1.4$ 米，最终算得国贸中心高度为 $H_{2}$ ；假设他们测量者的“眼高 $h$ ”都为 $1.6$ 米.

(1)、请你用所学知识帮两个小组完成计算（参考数据： $\tan 42 ° \approx 0.9$ ， $\tan 48 ° = \frac{1}{\tan 42 °}$ ，答案保留整数结果）；

(2)、你认为哪个小组的方案更好，说出你的理由.

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22. 设圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 15 = 0$ 的圆心为 $M$ ，直线l过点 $N (- 1, 0)$ 且与x轴不重合，l交圆 $M$ 于 $A, B$ 两点，过点 $N$ 作 $A M$ 的平行线交 $B M$ 于点 $C$ .

(1)、证明 $| C M | + | C N |$ 为定值,并写出点 $C$ 的轨迹方程；

(2)、设点 $C$ 的轨迹为曲线 $E$ ，直线 $l_{1} : y = k x$ 与曲线 $E$ 交于 $P, Q$ 两点，点 $R$ 为椭圆 $C$ 上一点，若 $Δ P Q R$ 是以 $P Q$ 为底边的等腰三角形，求 $Δ P Q R$ 面积的最小值.

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