浙江省温州市共美联盟2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-10-23 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 2^{x} < 1}$ ， $B = {x | x > 1}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${x | x > 1}$ B、 ${x | x > 0}$ C、 ${x | 0 < x < 1}$ D、 ${x | x < 0}$

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2. $\cos 300 ° =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、- $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 函数 $y = a^{x - 1} + 1 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象必经过定点 $($ $)$

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 1)$ C、 $(2 ， 1)$ D、 $(1 ， 2)$

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4. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）

A、 $y = \log_{2} x$ B、 $y = \sqrt{x}$ C、 $y = \sin x$ D、 $y = x | x |$

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5. 要得到函数 $y = cos (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象，只需把函数 $y = cos 2 x$ 的图象上所有的点（）

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位

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6. 已知 $\sin (\frac{π}{2} + α) = - \frac{3}{5}$ ， $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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7. 已知 $f (x) = 2 \sin (2 x + φ)$ ，若对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [a, b]$ ， $(x_{1} - x_{2}) (f (x_{1}) - f (x_{2})) \leq 0$ ，则 $b - a$ 的最大值为（）

A、 $π$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、与 $φ$ 有关

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8. 设 $a = \log_{0.2} 0.3$ ， $b = \log_{2} 0.3$ ，则下列式子错误的是（）

A、 $0 < a < 1$ B、 $b < - 1$ C、 $0 < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} < 1$ D、 $a + b < a b < 0$

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9. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + ϕ) (A > 0$ ， $ω > 0)$ ，其部分图象如图所示，点 $P$ ， $Q$ 分别为图象上相邻的最高点与最低点， $R$ 是图象与 $x$ 轴的交点．若 $f (\frac{1}{2}) = \sqrt{3}$ ， $P R ⊥ Q R$ ，则函数 $f (x)$ 的解析式可以是（）

A、 $f (x) = \sqrt{3} \sin π x$ B、 $f (x) = \sqrt{3} \sin (\frac{π}{2} x + \frac{π}{4})$ C、 $f (x) = \sqrt{3} \sin (\frac{π}{3} x + \frac{π}{3})$ D、 $f (x) = \sqrt{3} \sin (\frac{π}{2} x - \frac{π}{4})$

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | \log_{2} (x - 1) | + m ， (1 < x \leq 3) \\ x^{2} - 8 x + 16 + m ， (x > 3) \end{array}$ ，若函数 $y = f (x)$ 有4个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $(\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}) (x_{3} + x_{4}) =$ （）

A、6 B、7 C、8 D、9

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11. 已知函数 $f (x) = \lg (\sqrt{x^{2} + 1} - x) - x^{3}$ ，当 $x + y = 2019$ 时，恒有 $f (x) + f (2019) > f (y)$ 成立，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(0, \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2}, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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12. 已知集合 $A = B = {- 1, 0, 1}$ ， $f : A \to B$ 是从数集 $A$ 到 $B$ 的一个函数，则满足 $f (f (- 1)) < f (1)$ 的函数的个数有（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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二、双空题

13. 计算（1） $\lg 5 + l g 20 =$ ．（2） ${[{(- 2)}^{6}]}^{\frac{1}{3}} - {(- 1)}^{0} + 3^{\log_{3} 6} =$ ．

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14. 在半径为6 $c m$ 的圆中，某扇形的弧所对的圆心角为 $\frac{π}{4}$ ，则该扇形的周长是 $c m$ ，该扇形的面积是 $c m^{2}$ ．

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15. 已知 $f (x) = 2^{x}$ ，则 $f (\frac{1}{x})$ 的定义域是； $f (\cos x)$ $(x \in R)$ 的值域是．

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三、填空题

16. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{1}{1 + a^{x}} - \frac{1}{a}$ 是奇函数，则函数 $f (x)$ 的值域为．

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17. 已知函数 $f (x) = \sin 2 x$ ， $x \in [- \frac{π}{6} ， a]$ ，若 $f (x)$ 的值域是 $[- \frac{\sqrt{3}}{2} ， 1]$ ，则 $a$ 的取值范围是．

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18. 已知直线 $x = a (0 < a < \frac{π}{2})$ 与函数 $f (x) = \sin x$ 和函数 $g (x) = \cos x$ 的图象分别交于 $M, N$ 两点，若 $| M N | = \frac{1}{5}$ ，则线段 $M N$ 中点的纵坐标为.

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19. 当 $x > 0$ 时， $(a \sin x - 1) (a x^{2} - x + 4 a) < 0$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题

20. 已知角 $α$ 的顶点与原点 $O$ 重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (- \frac{1}{3}, - \frac{2 \sqrt{2}}{3})$ ．

(1)、求 $\sin α$ ， $\cos α$ ， $\tan α$ 的值；

(2)、求 $\frac{\sin (3 π - α) + 2 \cos (\frac{5 π}{2} + α)}{\sqrt{2} \cos (- α) - \cos (π + α)}$ 的值．

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21. 设函数 $f (x) = 4^{x} - m \cdot 2^{x}$ $(m \in R)$ ．

(1)、当 $m \leq 1$ 时，判断函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 内的单调性，并用定义加以证明；

(2)、记 $g (x) = \lg f (x)$ ，若 $g (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上有意义，求实数 $m$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{6})$ $(ω > 0)$ 在 $(0 ， \frac{4 π}{3}]$ 上单调递增，在 $(\frac{4 π}{3} ， 2 π]$ 上单调递减．

(1)、求 $ω$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(3)、当 $x \in [π ， 2 π]$ 时，不等式 $| f (x) - m | \leq 3$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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23. 设函数 $f (x) = x^{2} + 2 a x$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 的最小值 $g (a)$ 的表达式；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 和 $y = f (f (x))$ 的值域相同，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、记 $A = {y | y = f (x), x \in [- a, - a + 1]}$ ， $B = {y | y = f (f (x)), x \in [- a, - a + 1]}$ ，若 $A = B$ ，求实数 $a$ 的值．

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