浙江省宁波市九校2019-2020学年高一上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2020-10-23 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x > 0}$ ，集合 $B = {x | - 1 < x \leq 6}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(0 ， 6]$ C、 $(0 ， 6)$ D、 $(- 1 ， 6]$

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2. 函数 $y = \tan x (- \frac{π}{4} < x < \frac{π}{3})$ 的值域是（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- 1 ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ C、 $(- 1 ， \sqrt{3})$ D、 $[- 1 ， \sqrt{3}]$

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3. 已知 $x ， y \in R$ ，且 $x > y > 0$ ，则（）

A、 $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} > 0$ B、 $cos x - cos y > 0$ C、 ${(\frac{1}{2})}^{x} - {(\frac{1}{2})}^{y} < 0$ D、 $\ln x + \ln y > 0$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2})$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{3}$ .则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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5. 已知半径为2的扇形 $A O B$ 中， $\overset{⌢}{A B}$ 的长为 $3 π$ ，扇形的面积为 $ω$ ，圆心角 $A O B$ 的大小为 $φ$ 弧度，函数 $h (x) = sin x (\frac{π}{ω} x + φ)$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $h (x)$ 是奇函数 B、函数 $h (x)$ 在区间 $[- 2 π ， 0]$ 上是增函数 C、函数 $h (x)$ 图象关于 $(3 π ， 0)$ 对称 D、函数 $h (x)$ 图象关于直线 $x = - 3 π$ 对称

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6. 已知 $a = \log_{7} 2$ ， $b = \log_{0.7} 0.2$ ， $c = {0.7}^{0.2}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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7. 已知4个函数：① $y = x | \sin x |$ ；② $y = x \cos | x |$ ；③ $y = \frac{x^{2}}{e^{x}}$ ；④ $y = 4 \cos x - e^{| x |}$ 的图象如图所示，但是图象顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的为（）

A、①④②③ B、③②④① C、①④③② D、③①④②

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8. 在 $△ A B C$ 中， $\frac{\vec{B A} \cdot \vec{A C}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C} \cdot \vec{B C}}{| \vec{B C} |} = 0 ， \frac{\vec{B C}}{| \vec{B C} |} \cdot \frac{\vec{B A}}{| \vec{B A} |} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 为（）

A、直角三角形 B、三边均不相等的三角形 C、等边三角形 D、等腰非等边三角形

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9. 若 ${(\log_{2} 2019)}^{x} + {(\log_{2020} 2)}^{- y} < {(\log_{2} 2019)}^{- y} + {(\log_{2020} 2)}^{x}$ ，则（）

A、 $x + y < 0$ B、 $x + y > 0$ C、 $x - y < 0$ D、 $x - y > 0$

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10. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} f (x + 2) ， x \in (- \infty ， - 2] \\ | x + 1 | - 1 ， x \in (- 2 ， + \infty) \end{array}$ ，则方程 $16 f (x) + (x^{2} + x - 1) = 0$ 根的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、双空题

11. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x + 1}}{\sqrt{1 - x}} + \lg (3 x + 1)$ ,则 $f (0) =$ 函数定义域是.

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12. 已知 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 是单位向量, $\vec{e_{1}} ⊥ \vec{e_{2}}$ , $\vec{A B} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ , $\vec{B C} = - \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ , $\vec{C D} = λ \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ,若 $\vec{A B} ⊥ \vec{C D}$ ,则实数 $λ =$ ;若 $A ， B ， D$ 三点共线,则实数 $λ =$ .

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13. 已知函数 $f (x) = 2 \tan (a π x + \frac{π}{6}) (a > 0)$ 的最小正周期是3.则 $a =$ $f (x)$ 的对称中心为.

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14. 已知 $a ， b \in R$ ,定义运算“ $\otimes$ ”: $a \otimes b {\begin{array}{l} a ， a \geq b \\ b ， a < b \end{array}$ ,设函数 $f (x) = (2^{x} \otimes 2) - (1 \otimes \log_{2} x)$ , $x \in (0 ， 2)$ ,则 $f (1) =$ ; $f (x)$ 的值域为.

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三、填空题

15. 已知函数 $f (x) = (2 m - 9) x^{a}$ 为幂函数,且其图象过点 $(3 ， \sqrt{3})$ ,则函数 $g (x) = \log_{a} (x^{2} - m x + 6)$ 的单调递增区间为.

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16. 已知 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c} ，$ 是平面向量,且 $| \vec{c} | = 2$ ,若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = 2 ， \vec{b} \cdot \vec{c} = 4$ ,则 $| \vec{a} + \vec{b} |$ 的取值范围是.

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17. 函数 $f (x) = - 2 - 5 x ， g (x) = \sin x$ ，若 $x_{1} ， x_{2} ， \dots \dots ， x_{n} \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，使得 $f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots$
$+ f (x_{n - 1}) + g (x_{n}) = g (x_{1}) + g (x_{2}) + \dots + g (x_{n - 1}) + f (x_{n})$ ，则正整数 $n$ 的最大值为.

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四、解答题

18. 已知向量 $\vec{a} = (\sin x ， 1) ， \vec{b} = (\cos x ， - 1) ， \vec{c} = (m ， 0)$ ,其中 $x \in [0 ， \frac{π}{4}]$ .

(1)、若的 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - \frac{3}{5}$ ,求 $\tan x$ 的值;

(2)、若 $\vec{a} + \vec{c}$ 与 $\vec{a} - \vec{c}$ 垂直,求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 已知集合 $A = {x | y = \sqrt{(x + 3) (1 - x)}} ， B = (a - 1 ， 2 a + 1)$ , $C = {x | (x - m - 1) (x + m + 1) \leq 0 ， m \in R}$ .

(1)、若 $(∁_{R} A) \cap B = \emptyset$ ,求 $a$ 的取值范围;

(2)、若 $A \cap C = C$ ,求 $m$ 的取值范围.

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20. 已知 $f (x)$ 为偶函数,当 $x \geq 0$ 时, $f (x) = 2 \lg (x + 1)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式;

(2)、若对于任意的 $x \in (- \infty ， 0)$ ,关于 $x$ 的不等式 $\lg (k x) < f (x)$ 恒成立,求 $k$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ ， $g (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、求 $g (x)$ 的解析式，并说明 $f (x)$ 的图象怎样经过2次变换得到 $g (x)$ 的图象；

(2)、若对于任意的 $x \in [- \frac{π}{4} ， \frac{π}{6}]$ ，不等式 $| f (x) - m | < 2$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 在函数定义域内,若存在区间 $[m ， n]$ ,使得函数值域为 $[m + k ， n + k]$ ,则称此函数为“ $k$ 档类正方形函数”,已知函数 $f (x) = \log_{3} [2 k \cdot 9^{x} - (k - 1) 3^{x} + k + 2]$ .

(1)、当 $k = 0$ 时,求函数 $y = f (x)$ 的值域;

(2)、若函数 $y = f (x)$ 的最大值是1,求实数 $k$ 的值;

(3)、当 $x > 0$ 时,是否存在 $k \in (0 ， 1)$ ,使得函数 $f (x)$ 为“1档类正方形函数”?若存在,求出实数 $k$ 的取值范围,若不存在,请说明理由.

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