人教A版（2019）必修一 3.2 函数基本性质 ——单调性与最值

试卷更新日期：2020-10-21 类型：同步测试

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一、单选题

1. 函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 2 x - 3}$ 的单调递减区间为（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $(- \infty, 1]$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[3, + \infty)$

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2. 函数y= $\frac{2 k - 1}{x}$ +b在(0，+∞)上是减函数，则（）.

A、k> $\frac{1}{2}$ B、k< $\frac{1}{2}$ C、k> - $\frac{1}{2}$ D、k< - $\frac{1}{2}$

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3. 在区间 $(0, + \infty)$ 上，下列函数与函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ 的单调性相同的是（）

A、 $y = 4^{x}$ B、 $y = x^{2} - 3 x$ C、 $y = 3 x$ D、 $y = 1 - \sqrt{x}$

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4. 已知函数 $y = f (x - 1)$ 的图象关于 $x = 1$ 对称，且对 $y = f (x), x \in R$ ，当 $x_{1}, x_{2} \in (- \infty, 0]$ 时， $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < 0$ 成立，若 $f (2 a x) < f (2 x^{2} + 1)$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立，则 $a$ 的范围（）

A、 $- \sqrt{2} < a < \sqrt{2}$ B、 $a < 1$ C、 $a < \sqrt{2}$ D、 $a > \sqrt{2}$

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5. $f (x) = x | x |$ ，若 $f (2 m + 1) + f (1 - m) > 0$ ，则 $m$ 的取值范围（）

A、 $(- \infty ， - 1)$ B、 $(- \infty ， - 2)$ C、 $(- 1 ， + \infty)$ D、 $(- 2 ， + \infty)$

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6. 函数 $f (x) = x + \frac{4}{x + 1}$ 的单调递增区间为（）

A、（－∞，－3），（1，＋∞） B、（－∞，－2），（2，＋∞） C、（－3，0），（3，＋∞） D、（－2，0），（0，2）

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + \frac{2}{x} + 2 ， x < 0 \\ - x^{2} - 1 ， x \geq 0 \end{array}$ ，则 $f (x)$ 的最大值是（）

A、 $2 + 2 \sqrt{2}$ B、 $2 - 2 \sqrt{2}$ C、 $- 1$ D、 $1$

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8. 若函数 $f (x) = \frac{a x^{2} + b x + 2019}{x^{2}}$ 在区间 $[2019 ， 2020]$ 上的最大值是 $M$ ，最小值是 $m$ ，则 $M - m$ （）

A、与 $a$ 无关，但与 $b$ 有关 B、与 $a$ 无关，且与 $b$ 无关 C、与 $a$ 有关，但与 $b$ 无关 D、与 $a$ 有关，且与 $b$ 有关

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9. 已知函数 $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ ，其定义域是 $[- 8, - 4)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 有最大值 $\frac{5}{3}$ ，无最小值 B、 $f (x)$ 有最大值 $\frac{5}{3}$ ，最小值 $\frac{7}{5}$ C、 $f (x)$ 有最大值 $\frac{7}{5}$ ，无最小值 D、 $f (x)$ 无最大值，最小值 $\frac{7}{5}$

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10. 下列函数中，在 $(0 ， + \infty)$ 上为单调递增函数的是（）

A、 $y = - 2 x+1$ B、 $y = x^{2} - 2 x + 4$ C、 $y = \frac{1}{x}$ D、 $y = x^{3}$

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二、填空题

11. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty, + \infty)$ 上的单调递增函数，且 $f (2 m + 1) < f (m - 3)$ .则m的取值范围是.

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12. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - a x + 3 a, (x > 2) \\ x + 1, (x \leq 2) \end{array}$ 是 $R$ 上的单调递增函数，则实数 $a$ 的取值范围是.

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13. 已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数，若 $f (x - 1) > f (3 - 2 x)$ ，则 $x$ 的取值范围是.

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14. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(x + 1)}^{2}, x < 1 \\ 4 - \sqrt{x - 1}, x \geq 1 \end{array}$ ，则 $f (f (0)) =$ ，使得 $f (a) \geq 4 a$ 的实数 $a$ 的取值范围是．

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15. 已知 $f (x)$ 为定义在区间 $(0, + \infty)$ 上的增函数， $f (x \cdot y) = f (x) + f (y)$ ， $f (3) = 1$ , $f (a) > f (a - 1) + 2$ ，则 $a$ 取值范围为

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三、解答题

16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{x} ， x < 0 \\ x^{2} - 2 x ， 0 \leq x < 3 \\ - x + 6 ， x \geq 3 \end{array}$

(1)、请在给定的坐标系中画出此函数的图象；

(2)、写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域.

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17. 已知函数 $f (x)$ 的定义域是 $(0, + \infty)$ ，且满足 $f (x y) = f (x) + f (y)$ ， $f (\frac{1}{2}) = 1$ ，如果对于 $0 < x < y$ ，都有 $f (x) > f (y)$ ．

(1)、求 $f (1)$ 的值；

(2)、解不等式 $f (- x) + f (3 - x) \geq - 2$ .

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18. 定义在非零实数集上的函数 $f (x)$ 对任意非零实数x，y都满足 $f (\frac{x}{y}) + 2 f (\frac{y}{x}) = \frac{2 x - y}{x}$ .

(1)、求 $f (2)$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的解析式；

(3)、设函数 $g (x) = x f (x)$ ，求 $g (x)$ 在区间 $[\frac{1}{4}, 2^{m}]$ 上的最大值 $h (m)$ .

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19. 已知函数 $f (x)$ 满足 $2 f (x) - f (\frac{1}{x}) = a x$ （ $a$ 为常数），且 $f (1)$ ＝3．

(1)、求实数 $a$ 的值，并求出函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x > 0$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性，并用定义证明你的结论．

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x$ ， $g (x) = x^{2} - 2 x (x \in [2, 4])$ .

(1)、求 $f (x)$ 、 $g (x)$ 的单调区间；

(2)、求 $f (x)$ 、 $g (x)$ 的最小值.

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21. 已知函数 $f (x + 1) = \frac{x^{2} + 2 x + 2}{x + 1}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、根据函数单调性的定义证明 $f (x)$ 在 $(0, 1)$ 上单调递减.

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22. 已知二次函数 $g (x)$ 对一切实数 $x \in R$ ，都有 $g (1 - x) = g (1 + x)$ 成立，且 $g (1) = 0$ ， $g (0) = 1$ ， $h (x) = g (x + 1) + b x + c (b, c \in R)$ .

(1)、求 $g (x)$ 的解析式；

(2)、记函数 $h (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上的最大值为 $M$ ，最小值为 $m$ ，若 $M - m \leq 4$ ，当 $b > 0$ 时，求 $b$ 的最大值.

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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