人教A版（2019）必修一 3.3 幂函数

试卷更新日期：2020-10-21 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m - 3) x^{2 m - 3}$ 在 $(0, + \infty)$ 上为增函数，则 $m$ 值为（）

A、4 B、3 C、-1 D、-1或4

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2. 已知幂函数 $y = x^{n}$ 在第一象限内的图象如图所示．若 $n \in {2 ， - 2 ， \frac{1}{2} ， - \frac{1}{2}}$ 则与曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ， $C_{3}$ ， $C_{4}$ 对应的n的值依次为（）

A、 $- \frac{1}{2} ， - 2 ， 2 ， \frac{1}{2}$ B、 $2 ， \frac{1}{2} ， - 2 ， - \frac{1}{2}$ C、 $2 ， \frac{1}{2} ， - \frac{1}{2} ， - 2$ D、 $- \frac{1}{2} ， - 2 ， \frac{1}{2} ， 2$

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3. 已知幂函数 $f (x) = x^{m - 2} (m \in N)$ 的图象关于原点对称，且在 $(0, + \infty)$ 上是减函数，若 ${(a + 1)}^{- \frac{m}{2}} < {(3 - 2 a)}^{- \frac{m}{2}}$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1, 3)$ B、 $(\frac{2}{3}, \frac{3}{2})$ C、 $(- 1, \frac{3}{2})$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (\frac{2}{3}, \frac{3}{2})$

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4. 已知幂函数f（x）=x^a过点（4，2），则f（x）的解析式是（）

A、 $f (x) = x^{2}$ B、 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ C、 $f (x) = 2 x$ D、 $f (x) = 2^{x}$

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5. 有四个幂函数：① $f (x) = x^{- 1}$ ；② $f (x) = x^{- 2}$ ；③ $f (x) = x^{3}$ ；④ $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是 ${y | y \in R$ ，且 $y \neq 0}$ ；（3）在 $(- \infty, 0)$ 上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（）

A、① B、② C、③ D、④

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6. 函数 $f (x) = x^{α}$ 的图象经过点 $(9, \frac{1}{3})$ ，则 $f (\frac{1}{9})$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、3 C、9 D、81

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7. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过 $(2, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则下列求解正确的是（）

A、 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ B、 $f (x) = x^{2}$ C、 $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ D、 $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$

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8. 幂函数 $f (x)$ 过点 $(2 ， \frac{1}{2})$ ，则 $f (x)$ 的单调递减区间是(　　)

A、 $(0 ， + \infty)$ B、 $(－ \infty ， 0)$ C、 $(－ \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ D、 $(－ \infty ， 0) ， (0 ， + \infty)$

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9.
下图给出4个幂函数的图象，则图像与函数的大致对应是（）

A、① $y = x^{\frac{1}{3}}$ ② $y = x^{2}$ ③ $y = x^{\frac{1}{2}}$ ④ $y = x^{- 1}$ B、① $y = x^{3}$ ② $y = x^{2}$ ③ $y = x^{\frac{1}{2}}$ ④ $y = x^{- 1}$ C、① $y = x^{2}$ ② $y = x^{3}$ ③ $y = x^{\frac{1}{2}}$ ④ $y = x^{- 1}$ D、① $y = x^{\frac{1}{3}}$ ② $y = x^{\frac{1}{2}}$ ③ $y = x^{2}$ ④ $y = x^{- 1}$

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10. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $y = (a + 2 b) x^{\frac{1}{2}}$ 为幂函数，则ab的最大值为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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11. 设 $α \in \{- 1 ， 1 ， \frac{1}{2} ， 3\}$ ，则使函数 $y = x^{α}$ 的定义域为R且为奇函数的所有 $α$ 的值为（）

A、1，3 B、-1，1 C、-1，3 D、-1，1，3

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二、多选题

12. 已知幂函数 $y = x^{α} (α \in R)$ 的图象过点（2，8），下列说法正确的是（）

A、函数 $y = x^{α}$ 的图象过原点 B、函数 $y = x^{α}$ 是偶函数 C、函数 $y = x^{α}$ 是单调减函数 D、函数 $y = x^{α}$ 的值域为R

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三、填空题

13. 已知幂函数 $y = x^{a}$ 的图象过点 $(2 ， 8)$ ，则这个函数的解析式是．

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14. 函数 $f (x) = (m^{2} - m - 5) x^{m + 1}$ 是幂函数，且为奇函数，则实数 $m$ 的值是．

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15. 已知 $α \in ｛ - 2 ， - 1 ， - \frac{1}{2} ， \frac{1}{2} ， 1 ， 2 ， 3 ｝$ ，若幂函数 $f (x) = x^{a}$ 为奇函数，且在 $（ 0 ， + \infty ）$ 上递减，则α=

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16. 幂函数 $f (x) = x^{- 2}$ 的单调增区间为.

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17. 设 $α \in {\frac{1}{3}, \frac{1}{2}, - 1, - 2, 3}$ ，若 $f (x) = x^{α}$ 为偶函数，则 $α =$ ．

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18. 已知函数f（x）既是二次函数又是幂函数，函数g（x）是R上的奇函数，函数 $h (x)$ = $\frac{g (x)}{f (x) + 1}$ +1，则h（2018）+h（2017）+h（2016）+…+h（1）+h（0）+h（﹣1）+…h（﹣2016）+h（﹣2017）+h（﹣2018）=

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四、解答题

19. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象经过点 $(2, \sqrt{2})$ .

(1)、求 $f (x)$ 解析式

(2)、根据单调性定义，证明 $f (x)$ 在区间 $[0, + \infty)$ 上单调递增.

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20. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象经过点（-3，-27）

(1)、求 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $y = f (x)$ 的单调性并用定义证明你的结论.

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21. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{- 2 m - 1}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增.

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、若 ${(k + 1)}^{m} < {(3 - 2 k)}^{m}$ ，求实数 $k$ 的取值范围.

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22. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m^{2} - 2 m - 1}$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、①若 $f (x)$ 图像不经过坐标原点，直接写出函数 $f (x)$ 的单调区间.
②若 $f (x)$ 图像经过坐标原点，解不等式 $f (2 - x) > f (x)$ .

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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