浙江省丽水市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-10-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1, 2, 3}$ ， $B = {1, 3, 5}$ ，则 $A \cap B$ 等于（）

A、 ${1, 2, 3, 5}$ B、 ${1, 3}$ C、 ${1, 5}$ D、 ${3, 5}$

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2. 函数 $y = \sqrt{x} + \lg (2 - x)$ 的定义域是（）

A、 $[0, 2]$ B、 $[0, 2)$ C、 $(0, 2]$ D、 $(0, 2)$

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3. $\cos 300 ° =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、- $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 1, & x \leq 0, \\ - 2 x, & x > 0, \end{array}$ ，若 $f (x_{0}) = 5$ ，则 $x_{0}$ 的取值集合是（）

A、{-2} B、 ${- \frac{5}{2}, 2}$ C、 ${- 2, 2}$ D、 ${- 2, 2, - \frac{5}{2}}$

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5. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $[- 2 ， 2]$ 上的偶函数，且当 $0 \leq x \leq 2$ 时， $f (x)$ 的图象如图所示，则 $f (x)$ 的值域是（）

A、 $[- 3 ， 3]$ B、 $[- 2 ， 2]$ C、 $[1 ， 3]$ D、 $[2 ， 3]$

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6. 为了得到函数 $y = sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图像，只需将函数 $y = sin 2 x$ 的图像（）

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 D、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位

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7. 已知 $a = 3^{\frac{1}{2}}$ ， $b = \log_{3} 2$ ， $c = \log_{2} \frac{1}{3}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > b > a$ D、 $b > a > c$

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8. 函数 $y = 3 \cos (\frac{π}{3} - 2 x)$ 的单调递减区间是（）

A、 $[k π + \frac{π}{6} ， k π + \frac{2 π}{3}] ， k \in Z$ B、 $[k π - \frac{2 π}{3} ， k π - \frac{π}{6}] ， k \in Z$ C、 $[k π - \frac{π}{6} ， k π + \frac{π}{3}] ， k \in Z$ D、 $[k π - \frac{π}{3} ， k π + \frac{π}{6}] ， k \in Z$

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9. 设 $a \in R$ ，若 ${x | x^{2} - 2 a x + a + 2 \leq 0} \subseteq [1 ， 3]$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 3]$ B、 $[3 ， + \infty)$ C、 $[2 ， \frac{11}{5}]$ D、 $(- 1 ， \frac{11}{5}]$

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10. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (x^{2} - 2 a x + 8)$ 在区间 $[1, 2]$ 上是减函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $[2, 3)$ C、 $(0, 1) \cup [2, + \infty)$ D、 $(0, 1) \cup [2, 3)$

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11. 若 $\cos x + \sin y = \frac{1}{4}$ ，则 $\sin^{2} x - \sin y$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, 2]$ B、 $[- \frac{5}{4}, 1]$ C、 $[- \frac{7}{16}, 1]$ D、 $[- \frac{9}{16}, 1]$

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12. 设 $a \neq 0, b \in R$ ， $f (x) = (2^{x - 1} - 1) (a x^{2} - b x - a + b), x \in [- 1, 2]$ ，（）

A、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则 $a (b - 3 a) \geq 0$ B、若 $a (b - 3 a) \leq 0$ ，则 $f (x) \leq 0$ 恒成立 C、若 $f (x) \leq 0$ 恒成立，则 $b (b - 3 a) \geq 0$ D、若 $b (b - 3 a) \leq 0$ ，则 $f (x) \geq 0$ 恒成立

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二、双空题

13. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x \geq 1}$ ， $B = {x | (x - 3) (x + 2) < 0}$ ，则 $A \cap B =$ ， $∁_{U} (A \cup B) =$ .

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14. $25^{- \frac{1}{2}} + 5^{0} =$ ； $\log_{2} (\log_{2} 16) =$ .

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15. 《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB长是，弧田的面积是．

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三、填空题

16. 某种放射性元素的原子数 $N$ 随时间 $t$ 的变化规律是 $N = N_{0} e^{- λ t}$ ，其中 $N_{0}$ ， $λ$ 是正的常数，当 $N = 2 N_{0}$ 时， $t =$ .

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17. 已如函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω ， φ \in R)$ ，若 $f (\frac{π}{4}) = 0$ ，且 $f (x)$ 在 $(\frac{5 π}{28} ， \frac{2 π}{7})$ 上是单调函数，则 $ω$ 的最大值是.

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18. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} 2^{x} ， 0 < x \leq 1 ， \\ \frac{1}{2} f (x - 1) ， 1 < x \leq 3 ， \end{cases}$ 则关于 $x$ 的方程 $4^{x} f (x) - k = 0$ 的所有根的和的最大值是.

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + b, b \in R, - 1 \leq a \leq 0$ ，若 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上存在零点，则实数 $b$ 的取值范围是.

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四、解答题

20. 已知 $tan α = \frac{1}{2}$ ，且 $α$ 是第三象限角，

(1)、求 $\sin α$ 的值；

(2)、求 $\sin^{2} (\frac{π}{2} + α) + \sin α \cdot \cos (π - α)$ 的值.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{a - 2^{x}}{2^{x} + 1} (a \in R)$ 是奇函数.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、用定义法证明函数 $f (x)$ 在 $R$ 上是减函数；

(3)、若对于任意实数 $t$ ，不等式 $f (t^{2} - k t) + f (1 - t) \leq 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = Asin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{12} ， \frac{π}{4}]$ 时，不等式 $| f (x) - m | \leq 1$ 有解，求实数 $m$ 的取值范围.

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23. 已知函数 $f (x) = x^{2} + \frac{1}{2} | x - a | + b (a, b \in R)$ ，

(1)、当 $a > \frac{1}{4}$ 时，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} \leq \frac{1}{2}$ ；

(2)、当 $- 1 \leq x \leq 1$ 时，若 $| f (x) | \leq 1$ 恒成立，求a+2b的最大值.

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