浙江省金华市义乌市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-10-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. $\sin 210^{\circ}$ =（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 若集合 $M = {x | (x - 2) (x + 1) = 0}$ ， $N = {x | (x + 3) (x - 1) < 0}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${- 2, 1}$ B、{2} C、{-2} D、{-1}

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3. 设角 $θ$ 的终边经过点（ $3, - 4$ ），则 $\cos θ =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4. 已知函数 $f (x) = - x^{3}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是偶函数，且在 $(- \infty ， + \infty)$ 上是增函数 B、 $f (x)$ 是偶函数，且在 $(- \infty ， + \infty)$ 上是减函数 C、 $f (x)$ 是奇函数，且在 $(- \infty ， + \infty)$ 上是增函数 D、 $f (x)$ 是奇函数，且在 $(- \infty ， + \infty)$ 上是减函数

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5. 已知 $a = \sin 1$ ， $b = \ln (\cos 1)$ ， $c = 2^{0.3}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

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6. 函数 $y = (sin x) | \frac{cos x}{sin x} | (0 < x < π)$ 的图像大致为（）。

A、 B、 C、 D、

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7. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{1 - x} + b \cos \frac{π x}{2} + x^{2}$ ，且有 $f (1 + \sqrt{3}) = 3$ ，则 $f (1 - \sqrt{3}) =$ （）

A、3 B、-3 C、5 D、-5

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8. 已知全集 $U = R$ ， $P = {x | | x | + | x - 1 | < 3}$ ， $Q = {x | | 2 x - 1 | < 3}$ ，则集合 $P$ ， $Q$ 之间的关系为（）

A、集合 $P$ 是集合 $Q$ 的真子集 B、集合 $Q$ 是集合 $P$ 的真子集 C、 $P = Q$ D、集合 $P$ 是集合 $Q$ 的补集的真子集

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9. 已知符号函数 $sgn (x) = {\begin{matrix} 1, \begin{matrix} x > 0 \end{matrix} \\ 0, \begin{matrix} x = 0 \end{matrix} \\ - 1, \begin{matrix} x < 0 \end{matrix} \end{matrix}$ ， $f (x) = 3^{x} - 3$ ， $g (x) = f (x) - f (λ x), (λ > 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $sgn [g (x)] = sgn x$ B、 $sgn [g (x)] = - sgn x$ C、 $sgn [g (x)] = sgn [f (x)]$ D、 $sgn [g (x)] = - sgn [f (x)]$

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10. 研究二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ （其中 $a$ 为整数，且 $a \neq 0$ ），高一某班的四位同学分别给出下列四个结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（）

A、 $f (- 1) = 0$ B、 $f (2) = 8$ C、对任意实数 $x$ ， $f (x) \geq f (1)$ 恒成立 D、对任意实数 $x$ ， $f (x) \geq 3$ 恒成立

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二、双空题

11. $\log_{6} 3 + \log_{6} 12 =$ ；若 $x \log_{3} 2 = 1$ ，则 $2^{x} + 2^{- x} =$ .

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12. 算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具.在算筹计数法中，以“立”，“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示多位数时，个位用立式，十位用卧式，百位用立式，千位用卧式，以此类推.《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法.如图（1），前两列的符号分别代表未知数 $x ， y$ 的系数，因此，根据图（1）可以列出方程： $x + 11 y = 26$ .请你根据图（2）列出方程组，解得 $x =$ .

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13. 函数 $y = \cos x$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{4}]$ 上的最大值为；最小值为.

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} - x^{2} + 5, \\ 7 + \log_{a} x, \end{matrix} \begin{matrix} x \leq 2 \\ x > 2 \end{matrix}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 0$ ）.若 $a = 4$ ，则 $f (f (1)) =$ ；若函数 $f (x)$ 的值域是 $(- \infty, 5]$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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三、填空题

15. 已知某扇形的圆心角为 $\frac{π}{3}$ ，其弦长为 $2 c m$ ，则该扇形的面积为.

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16. 若将函数 $f (x) = \sin (x - \frac{π}{3})$ 的函数图象平移 $φ (φ \in R)$ 个单位，得到一个偶函数的图象，则 $| φ |$ 的最小值为.

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17. 数学家已经证明：指数函数 $f (x) = a^{x}$ 与对数函数 $g (x) = \log_{a} x$ $(a > 0, a \neq 1)$ 的图象当且仅当 $1 < a < e^{\frac{1}{e}}$ 时有两个不同的公共点.若对任意的 $x > 0$ ，都有 $e^{b x} > \frac{\ln x}{b}$ 恒成立，则实数 $b$ 的取值范围是.（注： $e$ 是自然对数的底数）

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四、解答题

18. 已知 $\sin α + 2 \cos α = 0$

(1)、化简： $\sin^{2} α + \sin^{2} β - \sin^{2} α \cdot \sin^{2} β + \cos^{2} α \cdot \cos^{2} β$ ；

(2)、计算： $\frac{1}{2 \sin α \cos α + \cos^{2} α}$ .

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19. 已知函数 $h (x) = \ln (a^{2} x^{2} - a^{2} x + a - 1)$ $(a \neq 0)$ 的定义域为 $D$ .

(1)、若 $2 \notin D$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、求函数 $h (x)$ 的定义域 $D$ .

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20. 已知函数 $f (x) = \sin ω x \cos ω x - \cos^{2} ω x + \frac{1}{2}$ ，两相邻最高点之间距离为 $π$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $0 < α < 2 π$ ， $f (\frac{α}{2} + \frac{π}{8}) = \frac{1}{2}$ ，求 $f (α - \frac{π}{6})$ 的值.

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21. 如图所示，一座小岛 $A$ 距离海岸线上最近的点 $P$ 的距离是 $2 k m$ ，从点 $P$ 沿海岸正东 $12 k m$ 处有一城镇B.一年青人从小岛 $A$ 出发，先驾驶小船到海岸线上的某点C处，再沿海岸线步行到城镇B.若 $∠ P A C = θ$ ，假设该年青人驾驶小船的平均速度为 $2 k m / h$ ，步行速度为 $4 k m / h$ .

(1)、试将该年青人从小岛A到城镇B的时间t表示成角 $θ$ 的函数；

(2)、该年青人欲使从小岛A到城镇B的时间t最小，请你告诉他角 $θ$ 的值.

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22. 已知函数 $f (x) = x | x | + (2 - 2 a) x + a ， (a > 0)$ .

(1)、直接写出 $f (x) + f (- x)$ 的值及函数 $f (x)$ 的单调递增区间（不必写过程步骤）；

(2)、若 $g (x) = f (x) - 2$ 在开区间 $(- a ， a)$ 恰有三个零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、函数 $y = f (x)$ 在闭区间 $[- a ， a]$ 上的最大值和最小值分别为 $M ， m$ ，记 $h (a) = M - m$ ，当 $a \geq 1$ 时，求 $h (a)$ 的最小值.

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