浙江省金华市金华十校2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-10-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {1, 2, a}$ ， $N = {b, 2}$ ， $M \cap N = {2, 3}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 ${1, 3}$ B、 ${2, 3}$ C、 ${1, 2}$ D、 ${1, 2, 3}$

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2. 下列函数中，在 $R$ 上单调递增的是（）

A、 $y = 2^{x} + 3^{x}$ B、 $y = 2^{- x} + 3^{- x}$ C、 $y = 2^{x} + 2^{- x}$ D、 $y = 3^{x} + 3^{- x}$

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3. 下列函数中，关于直线 $x = - \frac{π}{6}$ 对称的是（）

A、 $y = \sin (x + \frac{π}{3})$ B、 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ C、 $y = \cos (x + \frac{π}{3})$ D、 $y = \cos (2 x + \frac{π}{3})$

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4. 若 $\log_{4} 3 = a$ ， $\log_{2} 5 = b$ ，则 $\log_{2} \frac{3}{5}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2} a - b$ B、 $2 a - b$ C、 $\frac{2 a}{b}$ D、 $\frac{a}{2 b}$

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5. 函数 $f (x) = \ln (| x | - 1)$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 把函数 $y = \sin 2 x + \cos 2 x$ 的图象通过平移得到 $y = \sin 2 x - \cos 2 x$ 的图象，这个平移可以是（）

A、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度

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7. 已知 $\tan α = m$ ， $α$ 是第二象限角，则 $\sin α =$ （）

A、 $- \frac{1}{\sqrt{m^{2} + 1}}$ B、 $\frac{1}{\sqrt{m^{2} + 1}}$ C、 $- \frac{m}{\sqrt{m^{2} + 1}}$ D、 $\frac{m}{\sqrt{m^{2} + 1}}$

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8. 已知 $a = \frac{3}{2}$ ， $b = \log_{4} 5 \times \log_{5} 6 \times \log_{6} 7$ ， $c = \log_{2} 3$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < b < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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9. 已知对任意正实数 $x$ ， $f (2 x) = 4 f (x)$ ，且 $x \in [1 ， 2]$ 时， $f (x) = \frac{1}{2} - | x - \frac{3}{2} |$ ，则当 $x \in [9 ， 23]$ 时，（）

A、 $f {(x)}_{\max} = 128$ ，使得 $f (x) = 32$ 的 $x$ 为12和18 B、 $f {(x)}_{\max} = 128$ ，使得 $f (x) = 32$ 的 $x$ 为18 C、 $f {(x)}_{\max} = 112$ ，使得 $f (x) = 32$ 的 $x$ 为12和18 D、 $f {(x)}_{\max} = 112$ ，使得 $f (x) = 32$ 的 $x$ 为12

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10. 设函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ( $a ， b ， c \in R$ ，且 $a > 0$ )，则（）

A、若 $f (- \frac{b}{2 a}) < 0$ ，则 $f (f (x))$ 一定有零点 B、若 $f (f (- \frac{b}{2 a})) > 0$ ，则 $f (f (x))$ 无零点 C、若 $f (f (- \frac{b}{2 a})) > 0$ ，且 $f (- \frac{b}{2 a}) < 0$ ，则 $f (f (x))$ 一定有零点 D、若 $f (f (- \frac{b}{2 a})) < 0$ ，则 $f (f (x))$ 有两个零点

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二、双空题

11. 计算:（1） $2^{\sin \frac{π}{6}} \cdot 8^{\frac{1}{2}} =$ .（2） $\log_{2} \frac{8}{9} + \log_{2} 18 - \log_{3} 1 =$ .

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2}, x \leq 0 \\ \lg x, x > 0 \end{array}$ ，则 $f [f (10)] =$ ;若 $f (a) = 1$ ，则 $a =$ .

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13. 已知 $\sin (α - \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ， $α$ 为第一象限角，则 $\sin α =$ ， $\cos (\frac{2 π}{3} - α) + \cos (2 α - \frac{π}{3}) =$ .

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三、填空题

14. 函数 $y = 2 \cos (\frac{1}{2} x - \frac{π}{3}) + 3$ ，则函数的最小正周期是， $y$ 取最大值时 $x$ 的集合为.

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} - 1, x \geq 0 \\ - {(\frac{1}{2})}^{x} + 1, x < 0 \end{array}$ ，若 $f (a^{2}) > f (2 a + 3)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 已知函数 $f (x) = \sin x \cos x - \sin x - \cos x$ ， $x \in [- \frac{π}{2}, θ]$ ，若 $f (x)$ 的值域为 $[- 1, 1]$ ，则 $θ$ 的取值范围是.

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17. 已知定义在 $[1, + \infty)$ 的函数 $f (x) = x + \frac{t}{x}$ ，对满足 $| x_{1} - x_{2} | \leq 1$ 的任意实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq 1$ ，则实数 $t$ 的取值范围为.

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四、解答题

18. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x \leq 0}$ ， $B = {x | 2 + a \leq x \leq 1 - a, a \in R}$

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $C_{R} (A \cup B)$ ;

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求 $a$ 的取值范围.

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19. 函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ ( $0 < φ < \frac{π}{2}$ ， $ω > 0$ )的部分图像如图所示

(1)、求 $ω$ ， $φ$ 及图中 $x_{0}$ 的值；

(2)、设 $g (x) = f (x) - \cos π x$ ，求函数 $g (x)$ 在区间 $[- 2 ， \frac{1}{2}]$ 上的最大值和最小值

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20. 已知 $f (x) = 2 \sin x \cos (x + \frac{π}{3}) + \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $f (α) = \frac{3}{5}$ ，且 $α \in (0 ， \frac{π}{4})$ ，求 $\cos (2 α + \frac{π}{12})$ 的值.

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21. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (\frac{1}{x + a} + 1)$ 是奇函数， $a \in R$ .

(1)、求 $a$ 的值;

(2)、对任意的 $x \in (- \infty, 0)$ ，不等式 $f (2^{x} + 1) > \log_{2} (m - 2^{x})$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = \min {x | x - 2 a | ， x^{2} - 6 a x + 8 a^{2} + 4} (a > 1)$ ，其中 $\min {p ， q} = {\begin{array}{l} p ， p \leq q ， \\ q ， p > q . \end{array}$

(1)、当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $[0 ， 8]$ 上的最大值和最小值；

(2)、若方程 $f (x) = \frac{9}{4}$ 恰好有3个不同解 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ .
（i）求实数 $a$ 的取值范围；

（ii）比较 $x_{1} + x_{2}$ 与 $x_{3}$ 的大小.

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