浙江省嘉兴市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-10-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $A \subseteq B ， A \subseteq C ， B = {- 2 ， 0 ， 1 ， 9} ， C = {1 ， 3 ， 6 ， 9}$ ，则集合 $A$ 可以为（）

A、{1，3} B、{1，9} C、{2，0} D、{2，3}

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2. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为1，则 $| \overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A D} |$ =（）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 已知点 $M (\sin γ ， \tan γ)$ 在第四象限，则角 $γ$ 在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 设函数 $f (x) = \frac{1}{2^{x} + 1} (x \in R)$ ，则它的值域为（）

A、(0，1) B、(0，2) C、(1，+∞) D、(2，+∞)

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5. 已知平面向量 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | = 2 \sqrt{3} ， | \overset{⇀}{b} | = 4$ ，且 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}$ 的夹角为30°，则（）

A、 $\overset{⇀}{a} ⊥ (\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b})$ B、 $\overset{⇀}{b} ⊥ (\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b})$ C、 $\overset{⇀}{b} ⊥ (\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b})$ D、 $\overset{⇀}{a} ⊥ (\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b})$

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6. 函数 $f (x) = \sin (x + \frac{π}{4})$ ，则 $f (x)$ （）

A、在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递增 B、在 $(\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4})$ 上单调递增 C、在 $(\frac{3 π}{4} ， \frac{7 π}{4})$ 上单调递增 D、在 $(\frac{5 π}{4} ， \frac{7 π}{4})$ 上单调递增

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7. 函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则它的解析式可能是（）

A、 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{2^{x}}$ B、 $f (x) = 2^{x} (| x | - 1)$ C、 $f (x) = | \ln | x | |$ D、 $f (x) = x e^{x} - 1$

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8. 为了得到函数 $y = \cos (4 x + \frac{π}{3})$ 的图象，可以将函数 $y = \sin 4 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{5 π}{24}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{5 π}{24}$ 个单位 C、向左移动 $\frac{5 π}{6}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位

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9. 已知 $| \overset{⇀}{O A} | = | \overset{⇀}{O B} | = 1 ， ∠ A O B = 60 ° ， \overset{⇀}{O C} = λ \overset{⇀}{O A} + μ \overset{⇀}{O B}$ ，其中实数 $λ ， μ$ 满足 $1 \leq λ + μ \leq 2$ ， $λ \geq 0 ， μ \geq 0$ ，则点 $C$ 所形成的平面区域的面积为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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10. 若不等式 $(| x - a | - b) \cos (\frac{π}{2} x + \frac{π}{3}) \geq 0$ 对 $x \in [- 1 ， 3]$ 恒成立，则 $a - b$ =（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{7}{3}$

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二、双空题

11. 若 $a = \log_{2} 3, b = \log_{3} 2$ ,则 $a b$ =, $\lg a + l g b$ =.

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12. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} - 1, x < 1 \\ \ln x, x \geq 1 \end{array}$ 则 $f (0)$ 的值为；若 $f (a) = 2$ ,则 $a$ =.

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13. 已知向量 $\vec{O A} = (k, 12), \vec{O B} = (4, 5), \vec{O C} = (- k, 10)$ ,若 $| \vec{A B} | = | \vec{B C} |$ ,则 $k$ =；若 $A, B, C$ 三点共线,则 $k$ =.

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14. 若 $\tan α = 2$ ,则 $\frac{\sin α + 3 \cos α}{\sin α - \cos α}$ =, $\sin α \cos α$ =.

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三、填空题

15. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - 2 x ， x \leq 0 ， \\ - x^{2} + 2 x ， x > 0 ， \end{array}$ 若 $f (f (a)) + 3 \geq 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 如图所示， $O D = 2 ， O E = 4 ， ∠ D O E = 60 ° ， \overset{⇀}{A B} = 3 \overset{⇀}{A D} ， \overset{⇀}{A C} = 3 \overset{⇀}{A E}$ ，则 $\overset{⇀}{B C} \cdot \overset{⇀}{O E}$ =.

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17. 设 $f (x) = x | x - a | - x$ ,对任意的实数 $a \in (- 1, 2)$ ,关于 $x$ 的方程 $f (x) = t f (a)$ 共有三个不相等的实数根,则实数 $t$ 的取值范围是.

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四、解答题

18. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 4 x - 12 \leq 0}, B = {x | - 2 a \leq x \leq 2 a + 2}$ .

(1)、若 $a = 1$ ,求 $A \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $A \cup B = [- 4, 6]$ ,求实数 $a$ 的值.

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19. 已知平面向量 $\vec{a} = (2, 4), \vec{b} = (3, 5), \vec{c} = (- 2, 6)$ .

(1)、若 $\vec{a} = x \vec{b} + y \vec{c}$ ,求 $x + y$ 的值；

(2)、若 $\vec{a} + k \vec{c}$ 在 $\vec{a} - \vec{b}$ 上的投影是 $\sqrt{2}$ ,求实数 $k$ .

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20. 已知函数 $f (x) = a \cdot 2^{x} + \frac{1}{2^{x}} (x \in R)$ 是偶函数.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、当 $x \in (0, + \infty)$ 时,判断函数 $f (x)$ 的单调性,并证明你的结论.

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21. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + \frac{π}{3}) (A > 0 ， ω > 0)$ 的图象经过点 $(0 ， \sqrt{3})$ ，且图象上相邻两条对称轴之间的距离为 $2 π$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式及它的单调递增区间；

(2)、是否存在实数 $m$ ，使得不等式 $f (\sqrt{- m^{2} + 2 m}) > f (\sqrt{- m^{2} + 1})$ 成立?若存在，请求出 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = | \frac{1}{x - 1} - a | - x + a ， x \in (1 ， + \infty)$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求方程 $f (x) = 0$ 的解集；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 恰有两个不同的零点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，求 $x_{1} + x_{2}$ 的值.

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