浙江省杭州市七县市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-10-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = {1 ， 2 ， 3}$ ，集合 $A = {1 ， 2}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、3 B、{3} C、 ${0 ， 3}$ D、 ${0 ， 1}$

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2. $\sin 240 ° =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 函数 $f (x) = a^{x - 1} + 2$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象过定点（）

A、 $(1 ， 3)$ B、 $(0 ， 3)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(0 ， 2)$

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4. 已知a＞1，函数y=a^x与y=log_a（-x）的图象只可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）

A、 $y = \log_{2} | x |$ B、 $y = x^{3} + x$ C、 $y = 3^{x}$ D、 $y = - \frac{1}{x}$

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6. 已知 $α$ ∈（0，π），tan $α$ =-2，则cos $α$ =（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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7. 对于函数 $y = \sin x$ ， $y = - \cos x$ 的图象 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 有如下结论：① $C_{1}$ 向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位后与 $C_{2}$ 重合；② $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称；③ $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 关于直线 $x = - \frac{π}{4}$ 对称.则正确的结论是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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8. 函数 $y = \sqrt{2 \cos 2 x + 1}$ 的定义域是（）

A、 ${x | 2 k π - \frac{5 π}{6} \leq x \leq 2 k π + \frac{5 π}{6} ， k \in Z}$ B、 ${x | k π - \frac{5 π}{12} \leq x \leq k π + \frac{5 π}{12} ， k \in Z}$ C、 ${x | 2 k π - \frac{2 π}{3} \leq x \leq 2 k π + \frac{2 π}{3} ， k \in Z}$ D、 ${x | k π - \frac{π}{3} \leq x \leq k π + \frac{π}{3} ， k \in Z}$

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9. 三个数 $\log_{π} 0.3$ 、 $\log_{3} π$ 、 $π^{- 0.3}$ 的大小关系是（）

A、 $\log_{π} 0.3 < π^{- 0.3} < \log_{3} π$ B、 $\log_{π} 0.3 < \log_{3} π < π^{- 0.3}$ C、 $π^{- 0.3} < \log_{π} 0.3 < \log_{3} π$ D、 $π^{- 0.3} < \log_{3} π < \log_{π} 0.3$

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10. 函数 $f (x) = 2^{x} - x^{2}$ 的零点个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11. 已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（　　）

A、1 B、4 C、1或4 D、2或4

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12. 已知 ${log}_{4} 3 = p$ ， ${log}_{3} 25 = q$ ，则 $lg 5$ （用p，q表示）等于（）

A、 $\frac{p q}{p + q}$ B、 $\frac{p + q}{p q}$ C、 $\frac{1 + p q}{p + q}$ D、 $\frac{p q}{1 + p q}$

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13. 将函数 $f (x) = \sin 2 x$ 的图像向右平移 $φ (0 < φ < \frac{π}{2})$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图像，若对满足 $| f (x_{1}) - g (x_{2}) | = 2$ 的 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，有 ${| x_{1} - x_{2} |}_{\min} = \frac{π}{3}$ ，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{5 π}{12}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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14. 已知 $f (x) = x^{2} + (k + 1) x + \frac{5}{4}$ ，在函数 $y = \sin x$ 图象上存在一点 $(x_{0} ， y_{0})$ ，使 $f (f (y_{0})) = y_{0}$ ，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k \leq - 3 ， k \geq 3$ B、 $k \leq - \sqrt{5} ， k \geq \sqrt{5}$ C、 $k \leq - \frac{13}{4} ， k \geq \frac{5}{4}$ D、 $k \leq - \frac{9}{4} ， k \geq \frac{9}{4}$

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二、双空题

15. -135°=弧度，它是第象限角.

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16. 方程 $x = x^{3}$ 的解集是；不等式 $x > x^{3}$ 的解集是.

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17. 已知集合 $M = {x | x^{2} - 4 x + 3 < 0}$ ， $N = {y | y = | x - 2 | ， x \in M}$ ，则 $N =$ ； $M \cap N =$ .

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三、填空题

18. 某棵果树前 $n$ 年的总产量 $f (n)$ 与 $n$ 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前 $m$ 年的平均产量最高的 $m =$ .

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19. 已知函数 $f (x) = \ln x^{2} - \log_{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)$ ，则满足不等式 $f (\log_{\frac{1}{3}} x) > 1$ 的 $x$ 范围是.

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20. 已知正实数 $α$ 、 $β$ 满足 $α e^{α} = e^{3}$ ， $β (\ln β + 1) = e^{2}$ （ $e$ 是自然对数的底数），则 $α β =$ .

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四、解答题

21. 对于函数 $f (x) = a - \frac{2}{2^{x} + 1} (a \in R)$ .

(1)、证明：函数 $f (x)$ 在区间 $(- \infty ， + \infty)$ 上是增函数；

(2)、是否存在实数 $a$ 使函数 $f (x)$ 为奇函数？

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22. 一种电器设备的电网每接通1分钟后就断开1分钟，如此循环往复.当电闸接通时用1表示，断开时用0表示，于是电闸的状态是时间的函数，记为 $y = f (x)$ .

(1)、设 $x \in [0 ， 1)$ 时电闸接通，画出函数 $y = f (x)$ 在 $[0 ， 6)$ 上的图象，并写出它的解析式；

(2)、写一个与（1）形式不同的函数 $y = f (x)$ 的解析式.

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23. 已知函数 $f (x) = A \cos (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设函数 $g (x) = a \log_{2} x + b$ ，且 ${y | y = g (x) ， x \in [2 ， 4]} = {y | y = f (x) ， x \in [0 ， \frac{π}{2}]}$ ，实数 $a$ 、 $b$ 的值.

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24. 设二次函数 $f (x) = x^{2} + b x + c (b ， c \in R)$ ， $f (1) = 0$ ， $f (x)$ 在区间 $[3 ， + \infty)$ 上是增函数，且在区间 $[1 ， 5]$ 上都有 $f (x) \leq 0$ .

(1)、求 $b$ 、 $c$ 的值；

(2)、若 $f (m) = | f (n) |$ ，且 $m < n$ ，求 $m + n$ 的取值范围.

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