浙江省台州市2019-2020学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-10-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0, 1, 2}$ ， $B = {0, 1, 3}$ ，若全集 $U = A \cup B$ ，则 $∁_{U} (A \cap B) =$ （）

A、 ${2, 3}$ B、 ${0, 1}$ C、 ${0, 1, 2, 3}$ D、 $\emptyset$

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2. 已知 $a = \log_{2} 48$ ， $2^{b} = \frac{2}{3}$ ，则 $a + b =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、7

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3. 已知实数x，y满足 ${\begin{array}{l} 2 x + 3 y \leq 6 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + y$ 的最大值为（）

A、4 B、3 C、 $\frac{14}{5}$ D、2

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4. 二项式 ${(1 - 2 x)}^{9}$ 的展开式中 $x^{6}$ 的系数为（）

A、 $C_{9}^{6}$ B、 $- C_{9}^{6}$ C、 $C_{9}^{6} \cdot 2^{6}$ D、 $- C_{9}^{6} \cdot C_{6}^{2}$

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5. 函数 $f (x) = x + \sin (π x)$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知点F为椭圆C： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的右焦点，点P为椭圆C与圆 ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 16$ 的一个交点，则 $| P F | =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、 $2 \sqrt{5}$

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7. 已知a， $b \in R$ ，“ $| a | + | b | < 1$ ”是“ ${\begin{array}{l} | a + b | < 1 \\ | a - b | < 1 \end{array}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是边长为2的正三角形，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ，且 $A A_{1} = \sqrt{2}$ 则异面直线 $A_{1} B$ ， $A C_{1}$ 所成角的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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9. 已知双曲线C的离心率 $e = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，过焦点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为M，直线 $M F$ 交另一条渐近线于N，则 $\frac{| M F |}{| N F |} =$ （）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n} > 0$ ，且 $a_{n}^{2} = 2 a_{n + 1}^{2} - a_{n + 1}$ （ $n \in N^{*}$ ），下列说法正确的是（）

A、若 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，则 $a_{n} > a_{n + 1}$ B、若 $a_{n} < a_{n + 1}$ ，则 $a_{1} > 1$ C、 $a_{1} + a_{5} \leq 2 a_{3}$ D、 $| a_{n + 2} - a_{n + 1} | \leq \frac{\sqrt{2}}{2} | a_{n + 1} - a_{n} |$

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二、双空题

11. 已知复数z满足z=（4–i）i，其中i为虚数单位，则z的实部为， |z|=.

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12. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ ，当 $x \in [0 ， + \infty)$ 时满足： $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} ， x \in [0 ， 1] ， \\ f (x - 1) ， x \in (1 ， + \infty) ， \end{array}$ 则 $f (2) =$ ；方程 $f (x) - \frac{x}{2} = 0$ 的解的个数为.

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13. 如图，点 $P_{0} (\frac{4}{5} ， \frac{3}{5})$ 为锐角 $α$ 的终边与单位圆的交点， $O P_{0}$ 逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 得 $O P_{1}$ ， $O P_{1}$ 逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 得 $O P_{2}$ ，……， $O P_{n - 1}$ 逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 得 $O P_{n}$ ，则 $\cos 2 α =$ ，点 $P_{2020}$ 的横坐标为.

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14. 有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用 $ξ$ 表示两名老师之间的学生人数，则 $ξ = 1$ 对应的排法有种； $E (ξ) =$ ；

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三、填空题

15. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．

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16. 在我国东汉的数学专著《九章算术》中记载了计算两个最大公约数的一种方法，叫做“更相减损法”，它类似于古希腊数学家欧几里得提出的“辗转相除法”.比如求273，1313的最大公约数：可先用1313除以273，余数为221（商4）；再用273除以221，余数为52；再用221除以52，余数为13；这时发现13就是52的约数，所以273，1313的最大公约数就是13.运用这种方法，可求得5665，2163的最大公约数为.

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17. 如图，已知正方形 $A B C D$ ，点E，F分别为线段 $B C$ ， $C D$ 上的动点，且 $| B E | = 2 | C F |$ ，设 $\vec{A C} = x \vec{A E} + y \vec{A F}$ （x， $y \in R$ ），则 $x + y$ 的最大值为.

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四、解答题

18. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，已知 $A B = 3$ ， $B C = 5$ ， $C D = 7$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， $∠ A C B = ∠ A C D = α$ .

(1)、求 $\sin α$ 的值；

(2)、求 $A D$ 的长度.

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19. 如图，七面体 $A B C D E F$ 的底面是凸四边形 $A B C D$ ，其中 $A B = A D = 2$ ， $∠ B A D = 120 °$ ， $A C$ ， $B D$ 垂直相交于点O， $O C = 2 O A$ ，棱 $A E$ ， $C F$ 均垂直于底面 $A B C D$ .

(1)、证明：直线 $D E$ 与平面 $B C F$ 不平行；

(2)、若 $C F = 1$ ，求直线 $B C$ 与平面 $B F D$ 所成角的正弦值.

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20. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，对于任意正整数n， $S_{n} = n^{2}$ .递增的等比数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{1} = 1$ ，且 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3} - 4$ 成等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ , ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求证： $\frac{a_{2}}{b_{2} - 1} + \frac{a_{3}}{b_{3} - 1} + \dots + \frac{a_{n + 1}}{b_{n + 1} - 1} < 3$ .

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21. 如图，过点 $P (0 ， \frac{1}{2})$ 作直线l交抛物线C： $y^{2} = x$ 于A，B两点（点A在P，B之间），设点A，B的纵坐标分别为 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ，过点A作x轴的垂线交直线 $O B$ 于点D.

(1)、求证： $\frac{1}{y_{1}} + \frac{1}{y_{2}} = 2$ ；

(2)、求 $Δ O A D$ 的面积S的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = (x + 2) \ln (1 + x) - a x$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、如果当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ 恒成立，求实数a的取值范围；

(3)、求证：当 $a > 2$ 时，函数 $f (x)$ 恰有3个零点.

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