浙江省绍兴市嵊州市2020届高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-10-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ，集合 $B = {2 ， 4}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、{2} C、{4} D、 ${2 ， 4}$

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2. 若实数 $x$ 、 $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y \geq 0 \\ x - y + 4 \geq 0 \\ x \leq 2 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2 ， 4]$ B、 $[- 2 ， 10]$ C、 $[2 ， 4]$ D、 $[2 ， 10]$

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3. 已知复数 $z = 3 - i$ ， $z_{2} = 1 + i$ （其中 $i$ 是虚数单位），则 $\frac{z_{1}}{z_{2}} =$ （）

A、 $2 - 2 i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $1 + i$ D、 $2 + i$

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4. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x}{2^{x} + 1}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知 $x \in (0 ， π)$ ，则“ $x > \frac{π}{6}$ ”是“ $\sin x > \frac{1}{2}$ ”成立的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

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6. 若圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - k = 0$ 上的点到直线 $x + y - 10 = 0$ 的最大距离与最小距离的差为 $6$ ，则实数 $k$ 的值是（）

A、-34 B、1 C、4 D、7

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7. 设 $0 < p < 1$ ，随机变量 $ξ$ 的分布列是

$ξ$

-1

0

1

$P$

$\frac{1}{2}$

$\frac{1 - p}{2}$

$\frac{p}{2}$

则当 $p$ 在 $(0 ， 1)$ 内变化时，（）

A、 $D (ξ)$ 增大 B、 $D (ξ)$ 减小 C、 $D (ξ)$ 先增大后减小 D、 $D (ξ)$ 先减小后增大

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8. 如图，在三棱锥 $D - A B C$ 中，已知 $D A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ，且 $D A = A B = B C$ ，设 $P$ 是棱 $D C$ 上的点（不含端点）．记 $∠ P A B = α$ ， $∠ P B C = β$ ，二面角 $P - A B - C$ 的大小为 $γ$ ，则（）

A、 $γ > α$ ，且 $γ > β$ B、 $γ > α$ ，且 $γ < β$ C、 $γ < α$ ，且 $γ > β$ D、 $γ < α$ ，且 $γ < β$

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9. 已知 $a$ 、 $b \in R$ ，设函数 $f (x) = x^{2} + a x + b$ ，若函数 $y = f (f (x))$ 有且只有一个零点，则（）

A、 $a \leq 0$ ，且 $b \leq 0$ B、 $a \leq 0$ ，且 $b \geq 0$ C、 $a \geq 0$ ，且 $b \leq 0$ D、 $a \geq 0$ ，且 $b \geq 0$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{a_{n} + 2}{2 a_{n} + 1}$ ， $n \in N^{*}$ ，若 $0 < a_{1} < \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $a_{8} + a_{9} < 2 a_{7}$ B、 $a_{9} + a_{10} > 2 a_{8}$ C、 $a_{6} + a_{9} > a_{7} + a_{8}$ D、 $a_{7} + a_{10} > a_{8} + a_{9}$

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二、双空题

11. 若直线 $l_{1} ： y = k x$ 与直线 $l_{2} ： x - y + 2 = 0$ 平行，则 $k =$ ， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离是．

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12. 在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线恰好平分矩形的面积，则该“堑堵”的正视图的面积是，体积是．

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13. ${(x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 展开式中，各二项式系数的最大值是，常数项是．

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14. 在锐角 $Δ A B C$ 中， $D$ 是边 $B C$ 上一点，且 $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $B C = 3$ ， $A C = A D$ ，若 $\cos ∠ C A D = \frac{3}{5}$ ，则 $\sin C =$ ， $Δ A B C$ 的面积是．

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三、填空题

15. 学校开设了7门选修课，要求每一个学生从中任意选择3门，共有种不同选法．

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16. 已知单位向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | = | 2 \vec{b} |$ ，设向量 $\vec{c} = \vec{a} + x (2 \vec{b} - \vec{a})$ ， $x \in [0 ， 1]$ ，则 $| \vec{c} + \vec{a} |$ 的取值范围是．

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17. 已知函数 $f (x) = 2 | x | - | x - 1 |$ ，若对任意的实数 $x$ 有 $| f (x + t) - f (x) | \leq 1 (t \in R)$ 成立，则实数 $t$ 的取值范围是.

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四、解答题

18. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{6}) \cos (x + \frac{π}{6}) + \cos (\frac{π}{2} - 2 x)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，求 $f (x)$ 的值域．

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19. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ ， $Δ P C D$ 是等边三角形， $A B // C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} C D$ ， $P A = P D$ ， $E$ 是 $P C$ 的中点．

(1)、求证：直线 $B E //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求直线 $B E$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值．

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20. 已知 $P$ 是圆 $C ： x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 上一点， $A (t ， 0)$ ， $B (t + 4 ， 3)$ ，其中 $t \in R$ ．

(1)、若直线 $A B$ 与圆 $C$ 相切，求直线 $A B$ 的方程：

(2)、若存在两个点 $P$ 使得 $P A ⊥ P B$ ，求实数 $t$ 的取值范围．

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 3 a_{2} + \dots + (2 n - 1) a_{n} = 3 - \frac{2 n + 3}{2^{n}}$ ， $n \in N^{*}$ ，记 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ ．

(1)、求 $a_{n}$ 和 $S_{n}$ ；

(2)、证明： $(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}) S_{n} < \ln n + 1$ ．

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22. 已知 $k \in R$ ，函数 $f (x) = e^{x} - k x$ （其中 $e$ 是自然对数的底数， $e = 2.718 \dots$ ）．

(1)、当 $k = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若当 $x > 0$ 时都有 $f (x) > x^{2} + 3 x + 2 (k + 1)$ 成立，求整数 $k$ 的最大值．

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$ξ$	-1	0	1
$P$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1 - p}{2}$	$\frac{p}{2}$