浙江省高中发展共同体2020届高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-10-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $U = {0, 1, 2, 3}$ ， $P = {0, 1}$ ， $Q = {1, 3}$ ，则 $P \cup (∁_{U} Q) =$ （）

A、 ${0, 2}$ B、 ${0, 3}$ C、 ${0, 1, 2}$ D、 ${0, 1, 3}$

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2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $4 x \pm 9 y = 0$ B、 $9 x \pm 4 y = 0$ C、 $2 x \pm 3 y = 0$ D、 $3 x \pm 2 y = 0$

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3. 已知x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x - y \leq 0 ， \\ x - y + 1 \geq 0 ， \\ x + y - 1 \geq 0 ， \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最小值为（）

A、4 B、2 C、1 D、 $\frac{1}{3}$

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4. 如果用 $m, n$ 表示不同直线， $α, β, γ$ 表示不同平面，下列叙述正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $m / / n$ ，则 $n / / α$ B、若 $m / / n$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $α / / β$ C、若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α / / β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m / / n$

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5. 在同一直角坐标系中，函数 $y = a^{- x} - 1$ ， $y = \log_{a + 1} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $a \in R$ ，则“ $a \leq 2$ ”是“方程 $a x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 至少有一个负根”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知 ${a_{n}}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，前 $n$ 项和是 $S_{n}$ ，若 $S_{9} < S_{8} < S_{10}$ ，则（）

A、 $d > 0$ ， $S_{17} > 0$ B、 $d < 0$ ， $S_{17} < 0$ C、 $d > 0$ ， $S_{18} < 0$ D、 $d > 0$ ， $S_{18} > 0$

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8. 设实数 $a$ 、 $b$ 满足 $b > 0$ ，且 $a + b = 2$ .则 $\frac{1}{8 | a |} + \frac{| a |}{b}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{9}{8}$ B、 $\frac{9}{16}$ C、 $\frac{7}{16}$ D、 $\frac{1}{4}$

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9. 如图，在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ 是棱 $A_{1} C_{1}$ 上的点，记直线 $A M$ 与直线 $B C$ 所成的角为 $α$ ，直线 $A M$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $β$ ，二面角 $M - A C - B$ 的平面角为 $γ$ ，则（）

A、 $α \geq β$ ， $β \leq γ$ B、 $α \leq β$ ， $β \leq γ$ C、 $α \geq β$ ， $β \geq γ$ D、 $α \leq β$ ， $β \geq γ$

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10. 若关于 $x$ 的不等式 $4 x^{3} + a x - 1 \leq 0$ 对任意 $x \in [- 1, 1]$ 都成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 4, - 3]$ B、 ${- 3}$ C、 ${3}$ D、 $[3, 4]$

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二、双空题

11. 已知 $a + b i (a, b \in R)$ 是 $z = \frac{1 - i}{1 - 2 i}$ 的共轭复数，则 $a + b =$ ， $| z | =$ .

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12. 已知直线 $l ： x - y + b = 0$ ，与圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y = 0$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $∠ A O B = 30^{\circ}$ （ $O$ 为坐标原点），则 $b =$ ， $| A B | =$ .

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13. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 4^{x} + m, x \geq 0 \\ g (x), x < 0 \end{array}$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，则 $m =$ ， $f (\log_{2} \frac{1}{3}) =$ .

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14. 如图所示，一个空间几何体的三视图如图所示（单位： $c m$ ）.则该几何体的体积为 $c m^{3}$ .表面积为 $c m^{2}$ .

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三、填空题

15. 在 $Δ A B C$ 中， $A B = 5$ ， $∠ B A C$ 的平分线交边 $B C$ 于 $D$ .若 $∠ A D C = 45^{\circ}$ . $B D = \sqrt{5}$ ，则 $\sin C =$ .

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16. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的内接 $Δ A B C$ 的顶点 $B$ 为短轴的一个端点，右焦点 $F$ ，线段 $A B$ 中点为 $K$ ，且 $\vec{C F} = 2 \vec{F K}$ ，则椭圆离心率的取值范围是.

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17. 已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = 1$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = 2$ ，则 $| \vec{a} | + | \vec{b} |$ 的取值范围为.

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四、解答题

18. 已知角 $α$ 的顶点在坐标原点 $O$ ，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，将 $α$ 的终边按顺时针方向旋转 $\frac{π}{2}$ 后得到角 $β$ 的终边，且经过点 $(\frac{2}{\sqrt{5}} ， \frac{1}{\sqrt{5}})$ .

(1)、求 $\cos α$ 的值；

(2)、求函数 $f (x) = \cos^{2} (x - α) + \sin^{2} (x + β)$ 的值域.

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19. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 所有的棱长为 $2$ ， $A_{1} B = A_{1} C = \sqrt{2}$ ， $M$ 是棱 $B C$ 的中点.

(1)、求证： $A_{1} M ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求直线 $B_{1} C$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值.

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20. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差不为零，且 $a_{3} = 3$ ， $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{4}$ 成等比数列，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} + 2 b_{2} + \dots \dots + n b_{n} = 2 a_{n} (n \in N *)$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求证： $\sqrt{\frac{b_{2}}{b_{1}}} + \sqrt{\frac{b_{3}}{b_{2}}} + \dots \dots + \sqrt{\frac{b_{n + 1}}{b_{n}}} > a_{n + 1} - \sqrt{a_{n + 1}} (n \in N *)$ .

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21. 如图，抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F (1 ， 0)$ ，过点 $T (2 ， 0)$ 的直线与抛物线 $C$ 交于点 $A$ 、 $B$ ，直线 $A F$ 、 $B F$ 分别与抛物线 $C$ 交于点 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的标准方程；

(2)、求 $Δ F A_{1} B_{1}$ 与 $Δ F A B$ 的面积之和的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = a \ln x + \frac{1}{x} (a \in R)$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若存在两个不等正实数 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，满足 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，且 $x_{1} + x_{2} = 2$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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