浙江省舟山市2019-2020学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-10-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $y = x + 1$ 的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3π}{4}$

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2. 半径为2的球的表面积是（）

A、 $\frac{16π}{3}$ B、 $\frac{32 π}{3}$ C、 $16π$ D、 $32π$

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3. 已知直线l和平面α，若 $l // α$ ， $P \in α$ ，则过点P且平行于l的直线（）

A、只有一条，不在平面α内 B、只有一条，且在平面α内 C、有无数条，一定在平面α内 D、有无数条，一定不在平面α内

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4. 圆 ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 25$ 的位置关系为（）

A、内切 B、外切 C、相交 D、相离

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5. 设 $m, n$ 是不同的直线， $α, β$ 是不同的平面，下列命题中正确的是（）

A、若 $m // α$ ， $n ⊥ β$ ， $m // n$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $m // α$ ， $n ⊥ β$ ， $m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $m // n$ ， $m // α$ ， $n // β$ ，则 $α // β$ D、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $m // β$ ， $n // β$ ，则 $α // β$

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6. 将正方形 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折成一个直二面角 $B - A C - D$ ，则异面直线 $A B$ 和 $C D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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7. 若直线 $m x + n y = 4 和圆 x^{2} + y^{2} = 4$ 没有交点，则过点 $(m, n)$ 的直线与椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的交点个数为（）

A、2个 B、至多一个 C、1个 D、0个

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8. 《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设 $A A_{1}$ 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以 $A A_{1}$ 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）

A、4 B、8 C、12 D、16

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9. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $D A = D C = 1$ ， $D D_{1} = 2$ ，分别在对角线 $A_{1} D$ ， $C D_{1}$ 上取点M，N，使得直线 $M N / /$ 平面 $A_{1} A C C_{1}$ ，则线段MN长的最小值为 $($ $)$

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、2

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10. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P是椭圆上一点，直线 $F_{2} M$ 垂直于 $O P$ 且交线段 $F_{1} P$ 于点M， $| F_{1} M | ＝ 2 | M P |$ ，则该椭圆的离心率的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ C、 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ D、 $(\frac{1}{2} ， 1)$

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二、双空题

11. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2, 2)$ ， $\vec{b} = (2, x, - 1)$ ，则 $| \vec{a} | =$ ；若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$

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12. 某简单几何体的三视图（俯视图为等边三角形）如图所示（单位： $cm$ ），则该几何体的体积（单位： ${cm}^{3}$ ）为；表面积为（单位： ${cm}^{2}$ ）.

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13. 双曲线C： $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的渐近线方程为， C上一点P到点 $F_{1} (- 5, 0)$ 的距离为7，则点P到点 $F_{2} (5, 0)$ 的距离为.

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14. 正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱长和底面边长均为2，则 $A C_{1}$ 与侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值为；点E为 $A B$ 中点，则过 $B_{1}$ ， $E$ ， $C_{1}$ 三点的截面面积为.

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三、填空题

15. 已知圆C： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 9$ ，过点 $M (1, 2)$ 的直线l交圆于A、B两点，当 $| A B | = 4 \sqrt{2}$ 时，l所在的直线方程是

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16. 过抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点F的直线与抛物线C交于A、B两点，则 $| A F | + 4 | B F |$ 的最小值为.

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17. 若四棱锥 $P - A B C D$ 的侧面 $P A B$ 内有一动点Q，已知Q到底面 $A B C D$ 的距离与Q到点P的距离之比为正常数k，且动点Q的轨迹是抛物线，则当二面角 $P - A B - C$ 平面角的大小为 $60 °$ 时，k的值为.

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四、解答题

18. 已知平面内三点 $A (- 3, 0)$ 、 $B (5, 4)$ 、 $P (5, - 4)$ ，

(1)、求过点P且与 $A B$ 平行的直线方程；

(2)、求过点P、A、B三点的圆的方程.

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19. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是矩形且 $C D = 2$ ， $P D = A D = 1$ ，E、F分别是 $C D$ 、 $P B$ 的中点.

(1)、求证：直线 $E F //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求证：直线 $E F ⊥$ 平面 $P A B$ .

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且过点 $(- 1 ， \frac{3}{2})$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、直线l交椭圆C于不同的两点A、B，且 $A B$ 中点E在直线 $x = - 1$ 上，线段 $A B$ 的垂直平分线交y轴于点 $P (0 ， m)$ ，求m的取值范围.

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $△ A B P$ 为边长为2的等边三角形，O为 $A B$ 的中点， $D O ⊥$ 平面 $A B P$ .

(1)、求证： $A B ⊥ D P$ ；

(2)、当四边形 $A B C D$ 为菱形时，求 $A C$ 与平面 $P C D$ 所成角大小的正弦值.

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22. 如图，已知抛物线C： $y^{2} = 4 x$ ，过抛物线焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，P是抛物线外一点，连接 $P A$ ， $P B$ 分别交抛物线于点C，D，且 $C D // A B$ ，设 $A B$ ， $C D$ 的中点分别为M，N.

(1)、求证： $M N // x$ 轴；

(2)、若 $\vec{P C} = \frac{3}{2} \vec{C A}$ ，求 $△ P A B$ 面积的最小值.

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