浙江省温州市共美联盟2019-2020学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-10-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列直线中与直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 垂直的一条是（）

A、 $2 x + y + 1 = 0$ B、 $2 x - 4 y + 2 = 0$ C、 $2 x + 4 y + 1 = 0$ D、 $2 x - 4 y + 1 = 0$

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2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的焦点坐标是（）

A、 $(\pm 1, 0)$ B、 $(\pm 3, 0)$ C、 $(0, \pm 1)$ D、 $(0, \pm 3)$

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3. 已知圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y + a = 0$ 截直线 $x + y + 2 = 0$ 所得弦的长度为4，则实数a的值是（ $)$

A、-2 B、-4 C、-6 D、-8

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4. 已知实数x，y满足不等式组 ${\begin{array}{l} y \geq x \\ x \geq - 1 \\ 2 x + y \leq 3 \end{array}$ ，则 $x + y$ 的取值范围为（）

A、 $[- 2 ， 0]$ B、 $[- 2 ， 2]$ C、 $[2 ， 4]$ D、 $[- 2 ， 4]$

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则“ $S_{n} = p n^{2} + q n$ （p、q是常数）”是“ ${a_{n}}$ 成等差数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也比不要条件

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6. 已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）

A、若m∥α，n∥α，则m∥n B、若 m⊥α ，n⊂α，则 m⊥n C、若m⊥α，m⊥n，则n∥α D、若m∥α，m⊥n，则n⊥α

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7. 已知 $A B$ 、 $C D$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的短轴和长轴，点E是椭圆弧 $C B D$ 上异于B的任意一点，将坐标平面沿x轴折叠成大小为 $α$ （ $0 < α < \frac{π}{2}$ ）的二面角，记 $∠ A O E = φ$ ，则（）

A、 $α \geq φ$ B、 $α > φ$ C、 $α < φ$ D、 $α \leq φ$

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8. 在平面直角坐标系内，已知 $A (- 1, 0)$ ， $B (2, 0)$ ，动点M满足 $\frac{| M A |}{| M B |} = \frac{1}{2}$ ，且M在直线 $a x - y - 2 a = 0$ 上.若满足条件的点M是唯一的，则 $a =$ （）

A、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\pm \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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9. 正方形 $A B C D$ 沿对角线 $B D$ 折成直二面角，下列结论：① $A D$ 与 $B C$ 所成的角为 $60 °$ ：② $A C$ 与 $B D$ 所成的角为 $90 °$ ：③ $B C$ 与面 $A C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ：④二面角 $A - B C - D$ 的平面角正切值是 $\sqrt{2}$ ：其中正确结论的个数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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10. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ .若左焦点 $F_{1}$ 关于其中一条渐近线的对称点位于双曲线上，则该双曲线的离心率e的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、 $\sqrt{5}$ D、5

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二、双空题

11. 经过两点A(2,3)，B(1,4)的直线的斜率为，倾斜角为．

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12. 已知椭圆C： $\frac{y^{2}}{16} + \frac{x^{2}}{9} = 1$ ，则该椭圆的长轴长为：焦点坐标为.

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13. 某几何体的三视图如图所示（单位： $c m$ )，则该几何体最长的一条棱的长度是 $c m$ ；体积为 $c m^{3}$ .

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14. 如图所示， $A C$ ， $B D$ 分别在平面 $α$ 和平面 $β$ 内，在 $α$ 与 $β$ 的交线l上取线段 $A B = 1$ ， $A C ⊥ l$ ， $B D ⊥ l$ ， $A C = 1$ ， $B D = 1$ ， $C D = 2$ ，则 $A B$ 与 $C D$ 所成的角为：二面角 $α - l - β$ 的大小为.

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三、填空题

15. 在平面区域 ${\begin{array}{l} x - 2 y + 10 \geq 0 \\ x + 2 y - 6 \geq 0 \\ 2 x - y - 7 \leq 0 \end{array}$ 内含有一个圆，当圆的面积最大时圆记为 $⊙ M$ ，则 $⊙ M$ 的方程为.

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16. 已知过椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左焦点 $F$ 的直线交 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $| A F | + 2 | B F | \geq k$ 恒成立，则 $k$ 的最大值为.

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17. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (- 4 ， 0)$ ， $B (0 ， 4)$ ，从直线 $A B$ 上一点P向圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 引两条切线 $P C$ ， $P D$ ，切点分别为C，D.设线段 $C D$ 的中点为M，则线段 $A M$ 长的最小值为.

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四、解答题

18. 已知直线 $l : y = k x + 1$ ，圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 12$ .

(1)、试证明：不论 $k$ 为何实数，直线 $l$ 和圆 $C$ 总有两个交点；

(2)、求直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的最短弦长.

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19. 如图， $P A ⊥$ 正方形 $A B C D$ 所在平面，M是 $P C$ 的中点，二面角 $P - D C - A$ 的大小为 $45 °$ .

(1)、设l是平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 的交线，证明 $C D ∥ l$ ；

(2)、在棱 $A B$ 是否存在一点N，使 $M - D N - C$ 为 $60 °$ 的二面角.若不存在，说明理由：若存在，求 $A N$ 长.

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20. 已知抛物线C： $y^{2} = 4 x$ ，过焦点F的直线l与抛物线C交于M，N两点.

(1)、若直线l的倾斜角为 $45 °$ ，求 $| M N |$ 的长；

(2)、设M在准线上的射影为A，求证：A，O，N三点共线（O为坐标原点）.

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21. 如图，设矩形 $A B C D$ 所在平面与梯形 $A C E F$ 所在平面相交于 $A C$ .若 $A B = 1$ ， $B C = \sqrt{3}$ ， $A F = F E = E C = 1$ .

(1)、求证： $A C ⊥ D E$ ；

(2)、若 $D E = 1$ ，求 $B E$ 与面 $A C E F$ 所成角的正弦值.

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22. 如图，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点 $M (- 2 ， 1)$ 是椭圆内一点，过点 $M$ 作两条斜率存在且互相垂直的动直线 $l_{1} ， l_{2}$ ，设 $l_{1}$ 与椭圆 $C$ 相交于点 $A ， B$ ， $l_{2}$ 与椭圆 $C$ 相交于点 $D ， E$ ．当点 $M$ 恰好为线段 $A B$ 的中点时， $| A B | = \sqrt{10}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、求 $\overset{⇀}{A D} \cdot \overset{⇀}{E B}$ 的最小值．

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