浙江省温州市2019-2020学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-10-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. 双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的实轴长为（）

A、3 B、4 C、6 D、8

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2. 与直线 $l ： 2 x - 3 y + 1 = 0$ 关于 $y$ 轴对称的直线的方程为（）

A、 $2 x + 3 y + 1 = 0$ B、 $2 x + 3 y - 1 = 0$ C、 $3 x - 2 y + 1 = 0$ D、 $3 x + 2 y + 1 = 0$

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3. 若直线 $x - y = 0$ 与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = m$ 相离，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 2]$ B、 $(1 ， 2]$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $(1 ， 2)$

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4. 某几何体的三视图如图所示（单位： $c m$ ），则该几何体的体积（单位： $c m^{3}$ ）是（）

A、6 B、2 C、12 D、3

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5. 一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是（）

A、底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形 B、各个面都是正三角形 C、三个侧面是全等的等腰三角形 D、顶点在底面上的射影为重心

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6. 如图，已知三棱锥 $V - A B C$ ，点 $P$ 是 $V A$ 的中点，且 $A C = 2$ ， $V B = 4$ ，过点 $P$ 作一个截面，使截面平行于 $V B$ 和 $A C$ ，则截面的周长为（）

A、12 B、10 C、8 D、6

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7. 已知直线 $l_{1} ： y = k x$ 和 $l_{2} ： x + k y - 2 = 0$ 相交于点 $P$ ，则点 $P$ 的轨迹方程为（）

A、 $x^{2} + y^{2} = 1$ B、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ C、 $x^{2} + y^{2} = 1 (x \neq 0)$ D、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1 (x \neq 0)$

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8. 已知双曲线 $x^{2} - y^{2} = 4$ ，若过点 $P$ 作直线 $l$ 与双曲线交于 $A ， B$ 两点，且点 $P$ 是线段 $A B$ 的中点，则点 $P$ 的坐标可能是（）

A、 $(1 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 1)$ D、 $(2 ， 2)$

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9. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆上，且 $| P F_{1} | = 4 | P F_{2} |$ ，则此椭圆的离心率 $e$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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10. 在平面直角坐标系中，已知点 $A (2 ， 0)$ ， $B (0 ， 2)$ ，圆 $C ： {(x - a)}^{2} + y^{2} = 1$ ，若圆 $C$ 上存在点 $M$ ，使得 ${| M A |}^{2} + {| M B |}^{2} = 12$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[1 ， 1 + 2 \sqrt{2}]$ B、 $[1 - 2 \sqrt{2} ， 1 + 2 \sqrt{2}]$ C、 $[1 - \sqrt{2} ， 1]$ D、 $[1 - \sqrt{2} ， 1 + \sqrt{2}]$

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二、双空题

11. 已知直线 $l ： (m^{2} + 1) x - 2 y + 1 = 0$ （ $m$ 为常数），若直线 $l$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，则 $m =$ ，若 $m = - 1$ ，直线 $l$ 的倾斜角为．

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12. 在平面直角坐标系中，点 $A (- 1 ， 2)$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $A^{'} (- 1 ， - 2)$ ，那么，在空间直角坐标系中， $B (- 1 ， 2 ， 3)$ 关于 $x$ 轴的对称点 $B^{'}$ 坐标为，若点 $C (1 ， - 1 ， 2)$ 关于 $x O y$ 平面的对称点为点 $C^{'}$ ，则 $| B^{'} C^{'} | =$ ．

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13. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 1$ 和圆 $C_{2} ： {(x - 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 外切，则 $r$ 的值为，若点 $A (x_{0} ， y_{0})$ 在圆 $C_{1}$ 上，则 $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} - 4 x_{0}$ 的最大值为．

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14. 已知直线 $y = x - 1$ 与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $A ， B$ 两点；若直线过抛物线的焦点，则抛物线的准线方程为，若 $O A ⊥ O B$ ，则 $p$ 的值为．

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三、填空题

15. 某学习合作小组学习了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.利用祖暅原理研究椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 绕 $y$ 轴旋转一周所得到的椭球体的体积，方法如下：取一个底面圆半径为 $a$ 高为 $b$ 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体和半椭球体放在同一平面 $α$ 上，那么这两个几何体也就夹在两个平行平面之间了，现在用一平行于平面 $α$ 的任意一个平面 $β$ 去截这两个几何体，则截面分别是圆面和圆环面，经研究，圆面面积和圆环面面积相等，由此得到椭球体的体积是．

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16. 如图，等腰梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A B = A D = D C = 2$ ， $B C = 4$ ， $E$ 为 $B C$ 上一点，且 $B E = 1$ ， $P$ 为 $D C$ 的中点.沿 $A E$ 将梯形折成大小为 $θ$ 的二面角 $B - A E - C$ ，若 $△ A B E$ 内（含边界）存在一点 $Q$ ，使得 $P Q ⊥$ 平面 $A B E$ ，则 $\cos θ$ 的取值范围是．

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17. 设抛物线 $x^{2} = 4 y$ ，点 $F$ 是抛物线的焦点，点 $M (0 ， m)$ 在 $y$ 轴正半轴上（异于 $F$ 点），动点 $N$ 在抛物线上，若 $∠ F N M$ 是锐角，则 $m$ 的范围为．

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四、解答题

18. 已知圆心 $C$ 在直线： $2 x - y - 2 = 0$ 上的圆经过点 $A (- 1 ， 2)$ 和 $B (3 ， - 2)$ ，且过点 $P (3 ， - 1)$ 的直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于不同的两点 $M ， N$ .

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $∠ M C N = 90 °$ ，求直线 $l$ 的方程.

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19. 如图， $α \cap β = C D$ ， $α \cap γ = E F$ ， $β \cap γ = A B$ ， $A B ∥ C D$ .

(1)、求证： $C D ∥ E F$ ；

(2)、若几何体 $A C E - B D F$ 是三棱柱， $△ A C E$ 是边长为 $2$ 的正三角形， $A B$ 与面 $A C E$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{5}$ ， $A B = 2$ ，求三棱柱 $A C E - B D F$ 的体积.

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20. 已知点 $A ， B$ 的坐标分别是 $(- 1 ， 0)$ ， $(1 ， 0)$ ，直线 $A M ， B M$ 相交于点 $M$ ，且直线 $B M$ 的斜率与直线 $A M$ 的斜率的差是 $2$ .

(1)、求点 $M$ 的轨迹方程 $C$ ；

(2)、若直线 $l ： x - y = 0$ 与曲线 $C$ 交于 $P ， Q$ 两点，求 $Δ A P Q$ 的面积.

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21. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，且 $A D ⊥ D C$ ， $A C ⊥ C B$ ，面 $A B D ⊥$ 面 $B C D$ ， $A D = C D = B C$ ， $E$ 为 $A C$ 中点， $H$ 为 $B D$ 中点.

(1)、求证： $A D ⊥ B C$ ；

(2)、在直线 $C H$ 上确定一点 $F$ ，使得 $A F ∥$ 面 $B D E$ ，求 $A F$ 与面 $B C D$ 所成角.

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22. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，直线 $l$ 过椭圆的右焦点 $F$ ，与椭圆交于点 $M 、 N$ ；若 $l$ 垂直于 $x$ 轴，则 $| M N | = 3$ .

(1)、求椭圆的方程；

(2)、椭圆的左右顶点分别为 $A_{1} 、 A_{2}$ ，直线 $A_{1} M$ 与直线 $A_{2} N$ 交于点 $P$ .求证：点 $P$ 在定直线上.

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