浙江省绍兴市诸暨市2019-2020学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-10-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. 以点 $(2, - 3)$ 为圆心，3为半径的圆的标准方程为（）

A、 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 3$ B、 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$ C、 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 3$ D、 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 9$

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2. 已知 $x$ ， $y \in R$ ，“ $x > 0$ 且 $y > 0$ ”是“ $x y > 0$ ”的（）

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要条件 D、既不充分也不必要

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3. 平行于直线 $y = - \frac{1}{2} x$ 且过 $(2, 1)$ 的直线方程为（）

A、 $2 x - y - 3 = 0$ B、 $2 x + y - 5 = 0$ C、 $x - 2 y = 0$ D、 $x + 2 y - 4 = 0$

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4. 已知直线 $m$ ， $n$ ，平面 $α$ ， $m ⊄ α$ ， $n \subset α$ ，则下列说法：① $m ⊥ α \Rightarrow m ⊥ n$ ；② $m ⊥ n \Rightarrow m ⊥ α$ ；③ $m / / α \Rightarrow m / / n$ ；④ $m / / n \Rightarrow m / / α$ ；其中正确的个数（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + 2 y - 2 \geq 0 \\ x - y \leq 2 \\ y \leq 2 \end{array}$ ，则 $z = x + 3 y$ 的最小值（）

A、8 B、4 C、2 D、0

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6. 双曲线 $\frac{y^{2}}{3} - x^{2} = 1$ ，则焦点到其中一条渐近线的距离为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（）

A、 $\frac{11}{3}$ B、4 C、 $\frac{8}{3}$ D、3

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8. 如图两正方形 $A B C D$ ， $C D F E$ 所在的平面垂直，将 $Δ E F C$ 沿着直线 $F C$ 旋转一周，则直线 $E C$ 与 $A C$ 所成角的取值范围是（）

A、 $[\frac{π}{12} ， \frac{5 π}{12}]$ B、 $[\frac{π}{12} ， \frac{7 π}{12}]$ C、 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{2}]$ D、 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{2}]$

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9. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，在 $Δ A_{1} B_{1} D_{1}$ 内部（不含边界）存在点 $P$ ，满足点 $P$ 到平面 $A C C_{1} A_{1}$ 的距离等于点 $P$ 到棱 $B B_{1}$ 的距离.分别记二面角 $P - A D - B$ 为 $α$ ， $P - A C - B$ 为 $β$ ， $P - B C - A$ 为 $γ$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $α > β > γ$ B、 $α < γ < β$ C、 $α < β < γ$ D、以上说法均不正确

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10. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0 ， b > 0)$ ，过双曲线的左焦点 $F (- c ， 0)$ 的直线 $x = \frac{5}{2} \sqrt{2} y - c$ 交双曲线的渐近线与 $A$ ， $B$ 两点，若点 $M (2 c ， 0)$ 满足 $| M A | = | M B |$ ，则双曲线的离心率 $e =$ （）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{6}$ D、3

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二、填空题

11. 已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的侧面积为．

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12. 过原点 $O$ 有一条直线 $l$ ，它夹在两条直线 $l_{1} : 2 x - y - 2 = 0$ 与 $l_{2} : x + y + 3 = 0$ 之间的线段恰好被点 $O$ 平分，则直线 $l$ 的方程为.

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13. 如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，各棱长均等于 $2$ ， $M$ 为线段 $B B_{1}$ 上的动点，则平面 $A B C$ 与平面 $A M C_{1}$ 所成的锐二面角余弦值的最大值为.

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三、双空题

14. 已知抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ ，点 $P (3, m)$ 在抛物线上，则该抛物线的焦点 $F$ 的坐标为；点 $P$ 到准线的距离为.

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15. 中国古代数学名著《九章算术·商攻》中，阐述：“斜解立方，得两堵.其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一”.若称为“阳马”的某四棱锥如图所示， $A B C D$ 为矩形， $P D ⊥$ 面 $A B C D$ ， $P D = A D = 3$ ， $A B = 4$ ，则 $P A$ 与 $B C$ 所成的角 $=$ ； $P B$ 与平面 $P D C$ 所成角的正弦值 $=$ .

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16. 已知直线 $l : (3 k + 1) x + (1 - k) y - 4 k - 4 = 0$ ，圆 $C$ 的方程为： $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y = 0$ ，则直线 $l$ 恒过定点；若直线与圆相较于 $A$ ， $B$ 两点，则弦 $| A B |$ 长度的最小值 $=$ ；

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17. 已知曲线 $C : \frac{x^{2}}{m} + y^{2} = 1$ $(m > 0)$ ， $A (0, 1)$ ， $B (0, - 1)$ ， $P$ 是曲线 $C$ 上的动点.当 $P$ 与 $A$ ， $B$ 不重合时， $P A$ ， $P B$ 的斜率之积为 $=$ ；若 $| P B | \leq 2$ 恒成立，则 $m$ 的取值范围是.

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四、解答题

18. 已知原命题是“若 $x^{2} - x - 6 \leq 0$ 则 $x^{2} - 2 x - 8 \leq 0$ ”.

(1)、试写出原命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断所写命题的真假；

(2)、若“ $(x - a) (x + 2) \leq 0$ ”是“ $x^{2} - x - 6 \leq 0$ ”的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 如图，空间几何体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ ， $C D E F$ 是全等的矩形，平面 $C D E F ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $B C = 2$ ， $A B = 1$ ， $M$ ， $N$ 分别为线段 $A E$ ， $A D$ 的中点.

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $B C F$ ；

(2)、求证： $F M ⊥ B N$

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20. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ ，与圆 $F : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，直线 $M N : x = m y + 4$ 与抛物线相交于 $M$ ， $N$ 两点.

(1)、求证： $O M ⊥ O N$ .

(2)、若直线 $M N$ 与圆 $F$ 相切，求 $Δ O M N$ 的面积 $S$ .

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21. 如图，斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $Δ A B C$ 为边长为 $2$ 的正三角形，点 $A_{1}$ 在底面 $A B C$ 上的射影为 $B C$ 的中点 $O$ ， $G$ 在线段 $A O$ 上， $A G = 2 G O$ ， $H$ 为 $O C_{1}$ 与 $B_{1} C$ 的交点，若 $B B_{1}$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ .

(1)、求二面角 $B_{1} - O C_{1} - A_{1}$ 的余弦值；

(2)、求直线 $G H$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值.

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22. 已知椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ ，点 $P (1 ， \frac{3}{2})$ 为椭圆上的点，长轴 $A B = 4$ ， $D$ ， $C$ 为椭圆的上，下顶点，直线 $y = \frac{1}{2} x + m$ $(m < 1)$ 交椭圆于 $M$ ， $N$ （点 $M$ 在点 $N$ 左侧，且 $M$ 与 $C$ 不重合）.

(1)、求证：直线 $P M$ ， $P N$ 的倾斜角互补；

(2)、记 $M C$ 的斜率为 $k_{1}$ ， $N D$ 的斜率为 $k_{2}$ ，求 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 的取值范围.

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