浙江省绍兴市2019-2020学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-10-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知球的半径为1，则该球的体积是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $π$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $4 π$

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2. 两直线 $l_{1}$ ： $k x - y + 1 = 0$ ， $l_{2}$ ： $4 x - k y + 4 = 0$ 垂直，则 $k$ 为（）

A、不存在 B、0 C、-1 D、1

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3. 在三棱锥 $O - A B C$ 中，若 $D$ 为 $B C$ 的中点，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O C} - \vec{O B}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O B} + \vec{O C}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C} - \vec{O A}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C} + \vec{O A}$

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4. 若点 $A (2, 0)$ ， $B (a, 4)$ 在直线 $y = 3 x + 7$ 的两侧，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a < - 1$ B、 $a > - 1$ C、 $a > 19$ D、 $a < 19$

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5. 设 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，下列命题正确的是（）

A、若 $m ⊥ n, m ⊥ α, n / / β,$ 则 $α / / β$ B、若 $m / / α, n / / β, α / / β$ ，则 $m / / n$ C、若 $m ⊥ α, n / / β, α / / β$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $m / / n, m / / α, n / / β,$ 则 $α / / β$

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6. 若实数 $x ， y$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} x + 2 y - 4 \geq 0 \\ 2 x - y - 3 \geq 0 \\ x - y \geq 0 \end{array}$ ，则 $x + y$ 的最小值是（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、3 C、4 D、6

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7. 一条线段夹在一个直二面角的两个半平面内，它与两个半平面所成的角都是 $30 °$ ，则这条线段所在直线与这个二面角的棱所成角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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8. 已知圆锥 $P O$ ， $A ， B ， C$ 是底面圆周上任意的三点，记直线 $P A$ 与直线 $B C$ 所成的角为 $θ_{1}$ ，直线 $P A$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $θ_{2}$ ，二面角 $P - A B - C$ 的平面角为 $θ_{3}$ ，则（）

A、 $θ_{1} \leq θ_{3}$ B、 $θ_{3} \leq θ_{1}$ C、 $θ_{1} \leq θ_{2}$ D、 $θ_{2} \leq θ_{3}$

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9. 已知 $B_{1}$ ， $B_{2}$ 是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个短轴端点，P是椭圆上任意一点， $| P B_{1} | \leq | B_{1} B_{2} |$ ，则该椭圆离心率的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ B、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ C、 $(0, \frac{\sqrt{6}}{3}]$ D、 $[\frac{\sqrt{6}}{3}, 1)$

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10. 已知 $△ A B C$ ， $A B = A C$ ， $D$ 是 $B C$ 上的点，将 $Δ A B D$ 沿 $A D$ 翻折到 $Δ A B_{1} D$ ，设点 $A$ 在平面 $B_{1} C D$ 上的射影为 $O$ ，当点 $D$ 在 $B C$ 上运动时，点 $O$ （）

A、位置保持不变 B、在一条直线上 C、在一个圆上 D、在一个椭圆上

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二、填空题

11. 已知点 $A (1, 1)$ ， $B (0, - 1)$ ， $C (a, b)$ 在同一直线上，则 $2 a - b =$ ．

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12. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．

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13. 已知圆锥的表面积为 $3 π$ ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是．

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14. 平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以A为同一顶点的三条棱长均为1，且两两的夹角为 $60 °$ ，则对角线AC₁的长是.

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15. 一动圆截直线 $3 x - y = 0$ 和 $3 x + y = 0$ 所得弦长分别为8，4，则该动圆圆心的轨迹方程为．

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16. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的顶点 $C$ 在平面 $α$ 上，若 $A_{1} B$ 和 $A_{1} D$ 与平面 $α$ 都成 $60 °$ 角，则 $A_{1} C$ 与平面 $α$ 所成角的余弦值为．

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三、解答题

17. 已知直线 $l$ ： $k x - y - 3 k + 1 = 0$ ， $k \in R$ ．

(1)、证明：直线 $l$ 恒过定点；

(2)、设 $O$ 是坐标原点， $A (- 1, - 1)$ ，若 $O A ⊥ l$ ，求 $k$ 的值．

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18. 如图，已知四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B C D$ 是菱形，点 $E$ 在 $A_{1} D$ 上，且 $A_{1} E = 2 E D$ ．

（Ⅰ）证明： $B D_{1} ⊥ A C$ ；

（Ⅱ）证明： $B D_{1} ∥$ 平面 $A C E$ ．

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19. 在平面直角坐标系中， $A (- 1 ， 2)$ ， $B (2 ， 1)$ ， $C (3 ， 4)$ ， $D (0 ， a)$ 四点在同一个圆 $E$ 上．
$($ Ⅰ $)$ 求实数 $a$ 的值；

$($ Ⅱ $)$ 若点 $P (x ， y)$ 在圆 $E$ 上，求 $x^{2} + 2 x + y^{2}$ 的取值范围．

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20. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ ， $A B C D$ 是梯形， $A B ∥ C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $P A = P D = B C = C D = 1$ ， $A B = 2$ ， $P C = \sqrt{3}$ ．

（Ⅰ）证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

（Ⅱ）求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 所成的锐二面角的余弦值．

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21. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点为 $F (1 ， 0)$ ，且经过点 $(1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ， $A ， B$ 是椭圆 $E$ 上两点， $| A B | = \sqrt{2}$ ．
$($ Ⅰ $)$ 求椭圆方程；

$($ Ⅱ $)$ 求 $\overset{⇀}{O A} \cdot \overset{⇀}{O B}$ 的取值范围．

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