浙江省宁波市六校2019-2020学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-10-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题p：“a=﹣2”是命题q：“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”成立的（）

A、充要条件 B、充分非必要条件 C、必要非充分条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 已知双曲线 $C : \frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{9} = 1$ ，双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{5}{4}$

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3. 设 $α$ 、 $β$ 、 $γ$ 是三个不重合的平面， $m$ 、 $n$ 是两条不重合的直线，则下列说法正确的是（）

A、若 $α ⊥ β$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α // γ$ B、若 $α ⊥ β$ ， $m // β$ ，则 $m // α$ C、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α // β$ D、若 $m // β$ ， $n // β$ ，则 $m // n$

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4. 命题 $p ：$ “ $a > 1$ ”是命题 $q ：$ “函数 $f (x) = a x + \cos x$ 在 $R$ 上是单调递增”成立的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 过点 $(2, 1)$ 且倾斜角比直线 $y = - x - 1$ 的倾斜角小 $\frac{π}{4}$ 的直线方程是（）

A、 $x = 2$ B、 $y = 1$ C、 $x = 1$ D、 $y = 2$

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6. 直线 $y = k x + 3$ 与圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 相交于 $M$ 、 $N$ 两点，若 $| M N | \geq 2 \sqrt{3}$ ，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - \frac{3}{4}]$ B、 $[- \frac{3}{4}, 0]$ C、 $[- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}]$ D、 $[- \frac{2}{3}, 0]$

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7. 已知实数 $x$ 、 $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ \frac{x}{3 a} + \frac{y}{4 a} \leq 1 \end{array}$ ，若目标函数 $z = \frac{x + 2 y + 3}{x + 1}$ 的最小值为 $\frac{3}{2}$ ，则正实数 $a$ 的值为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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8. 直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = A A_{1}$ ，则异面直线 $B A_{1}$ 与 $A C_{1}$ 所成的角等于（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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9. 曲线 $y = e^{\frac{1}{2} x}$ 在点 $(4 ， e^{2})$ 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（　　）

A、 $\frac{9}{2} e^{2}$ B、 $4 e^{2}$ C、 $2 e^{2}$ D、 $e^{2}$

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10. 两圆 $x^{2} + y^{2} + 2 a x + a^{2} - 4 = 0$ 和 $x^{2} + y^{2} - 4 b y - 1 + 4 b^{2} = 0$ 恰有三条公切线，若 $a \in R, b \in R$ 且 $a b \neq 0$ ，则 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}$ 的最小值为（）

A、1 B、3 C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{4}{9}$

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二、双空题

11. 若直线 $l_{1} : x - 2 y + 5 = 0$ 和 $l_{2} : m x + y - 5 = 0$ 平行，则 $m$ 的值为；这两条平行线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离为.

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12. 过点 $P (1, \sqrt{3})$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 的两条切线，切点分别为 $A$ 、 $B$ ，则直线 $A B$ 的方程为； $\vec{P A} \cdot \vec{P B} =$ .

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13. 已知实数 $x$ 、 $y$ 满足 ${\begin{array}{l} 2 x + y - 2 \geq 0 \\ x - 2 y + 4 \geq 0 \\ 3 x - y - 3 \leq 0 \end{array}$ ，则 $\sqrt{{(x + 1)}^{2} + y^{2}}$ 的最大值是，最小值是.

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14. 一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示（均为直角三角形），则该三棱锥的表面积为，该三棱锥的体积为.

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三、填空题

15. 函数 $f (x) = \frac{I n x}{x}$ 的单调递增区间是.

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16. 在直角坐标系平面内，动直线 $l : a x + y - 1 = 0$ 与动直线 $m : x - a y + 3 = 0$ 相交于点 $M$ ，则点 $M$ 的轨迹方程是.

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17. 设直线 $x - 3 y + m = 0 (m \neq 0)$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两条渐近线分别交于点 $A, B$ ，若点 $P (m, 0)$ 满足 $| P A | = | P B |$ ，则该双曲线的离心率是．

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四、解答题

18. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 0)$ ，直线 $l$ 经过点 $P (0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 交椭圆于 $A$ 、 $B$ 两点，当 $l$ 平行于 $x$ 轴时， $| A B | = 2$ .

(1)、求椭圆方程；

(2)、当直线 $l$ 的倾斜角 $\frac{π}{4}$ 时，求 $| A B |$ .

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19. 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点.

(1)、求证：PB∥平面EFH；

(2)、求证：PD⊥平面AHF.

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20. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 (m - 1) x^{2} - 6 m x + 10 m (m \in R)$ .

(1)、若 $m = 0$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若 $m > 0$ ，且当 $x \in [- 1 ， 3]$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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21. 如图，在等腰梯形 $P D C B$ 中， $P B = 3$ ， $D C = 1$ ， $P D = B C = \sqrt{2}$ ， $A D ⊥ P B$ ，将 $Δ P A D$ 沿 $A D$ 折起，使平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、若 $M$ 是侧棱 $P B$ 中点，求证： $C M //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值.

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22. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ 焦点为 $F (2, 0)$ ，且 $P (m, 0)$ ， $Q (- m, n)$ ，过 $P$ 作斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点.

(1)、若 $m = k = 2$ ， $\vec{Q A} \cdot \vec{Q B} = 0$ ，求 $n$ ；

(2)、若 $O$ 为坐标原点， $m$ 为定值，当 $k$ 变化时，始终有 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ ，求定值 $m$ 的大小；

(3)、若 $k = 1$ ， $n = 0$ ， $m < 0$ ，当 $m$ 改变时，求三角形 $Q A B$ 的面积的最大值.

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