浙江省宁波市九校2019-2020学年高二上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2020-10-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. 抛物线 $y = 4 x^{2}$ 的焦点坐标是（）

A、 $(1 ， 0)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(\frac{1}{16} ， 0)$ D、 $(0 ， \frac{1}{16})$

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2. 若复数 $z$ 满足 $(1 - 2 i) z = | 3 + 4 i |$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 2 i$ B、 $2 i$ C、2 D、-2

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3. 设l，m是两条不同的直线， $α$ 是一个平面，则下列命题正确的是 $($ $)$

A、若 $l ⊥ m$ ， $m \subset α$ ，则 $l ⊥ α$ B、若 $l / / α$ ， $m / / α$ ，则 $l / / m$ C、若 $l / / m$ ， $m \subset α$ ，则 $l / / α$ D、若 $l ⊥ α$ ， $m ⊥ α$ ，则 $l / / m$

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4. 设 $\vec{O A} = (1, 1, - 2)$ ， $\vec{O B} = (3, 2, 8)$ ， $\vec{O C} = (0, 1, 0)$ ，则线段 $A B$ 的中点 $P$ 到点 $C$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{53}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{53}}{4}$ D、 $\frac{53}{4}$

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5. 已知 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 是空间四个不同的点，则“ $A C$ 与 $B D$ 是异面直线”是“ $A D$ 与 $B C$ 是异面直线”的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 以下关于圆锥曲线的命题中：
①双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{24} = 1$ 有相同焦点；②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的；③设 $A$ 、 $B$ 为两个定点， $k$ 为常数，若 $| P A | - | P B | = k$ ，则动点 $P$ 的轨迹为双曲线；④过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点作直线与抛物线相交于 $A$ 、 $B$ ，则使它们的横坐标之和等于5的直线有且只有两条；

以上命题正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 已知双曲线 $e = \sqrt{5}$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作平行于 $C$ 的渐近线的直线交 $C$ 于点 $P$ ．若 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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8. 如图，正四棱锥 $P - A B C D$ 的各棱长均相等， $M$ 是 $A B$ 上的动点（不包括端点）， $N$ 是 $A D$ 的中点，分别记二面角 $P - M N - C$ ， $P - A B - C$ ， $P - M D - C$ 的平面角为 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，则（）

A、 $γ < α < β$ B、 $α < γ < β$ C、 $α < β < γ$ D、 $β < α < γ$

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9. 设椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > b > 0$ )的一个焦点 $F (2 ， 0)$ 点 $A (- 2 ， 1)$ 为椭圆 $E$ 内一点，若椭圆 $E$ 上存在一点 $P$ ，使得 $| P A | + | P F | = 8$ ，则椭圆 $E$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $[\frac{4}{9} ， \frac{4}{7}]$ B、 $(\frac{4}{9} ， \frac{4}{7})$ C、 $[\frac{2}{9} ， \frac{2}{7})$ D、 $[\frac{2}{9} ， \frac{2}{7}]$

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10. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ ，过点 $A (1, 2)$ 作直线交抛物线于另一点 $B$ ， $Q$ 是线段 $A B$ 的中点，过点 $Q$ 作与 $y$ 轴垂直的直线 $l_{1}$ ，交抛物线于点 $C$ ，若点 $P$ 满足 $\vec{Q C} = \vec{C P}$ ，则 $| O P |$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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二、填空题

11. 设复数 $z_{1} = a + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ ， $z_{2} = a - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，若 $\frac{z_{2}}{z_{1}}$ 为纯虚数，则实数 $a =$ .

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12. 双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的渐近线为菱形 $O A B C$ 的边 $O A$ ， $O C$ 所在的直线，点 $B (2, 0)$ 为双曲线的焦点，若 $∠ A O C = 120 °$ ，则双曲线的方程为.

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13. 边长为2的等边 $Δ A B C$ 和直角 $Δ A B C_{1}$ 所在半平面构成 $60 °$ 的二面角，当 $∠ A C_{1} B = 90 °$ ， $∠ C_{1} A B = 30 °$ 时，线段 $C C_{1}$ 的长度为.

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14. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = 1$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $B = \frac{π}{4}$ ，将 $Δ A B C$ 绕边 $A B$ 翻转至 $Δ A B P$ ，使面 $A B P ⊥$ 面 $A B C$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点，设 $Q$ 是线段 $P A$ 上的动点，则当 $P C$ 与 $D Q$ 所成角取得最小值时，线段 $A Q$ 的长度为.

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三、双空题

15. 已知圆C： ${(x + 3)}^{2} + y^{2} = 48$ 和点 $B (3 ， 0)$ ，P是圆上一点，线段BP的垂直平分线交CP于M点，则M点的轨迹方程为；若直线l与M点的轨迹相交，且相交弦的中点为 $P (2 ， 1)$ ，则直线l的方程是．

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16. 某几何体的三视图如图所示（单位： $c m$ ），俯视图为正三角形，则该几何体的体积（单位： $c m^{3}$ ）是，该几何体的表面积（单位： $c m^{2}$ ）是.

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17. 在正四面体 $A B C D$ 中， $M$ ， $N$ 分别为棱 $B C$ 、 $A B$ 的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{A D} = \vec{c}$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示向量 $\vec{D M} =$ ，异面直线 $D M$ 与 $C N$ 所成角的余弦值为.

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四、解答题

18. 已知条件 $p$ ：“存在 $x \in R$ ， $3 x^{2} + (2 a - 1) x + 3 < 0$ ”，条件 $q$ ：“曲线 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{2 a + 8} = 1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆”，条件 $s$ ：“曲线 $C_{2}$ ： $\frac{x^{2}}{a - 3 t} + \frac{y^{2}}{a - 4 t} = 1 (t > 0)$ 表示双曲线”.

(1)、若 $p$ 与 $q$ 同时成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $s$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求实数 $t$ 的取值范围.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为梯形， $A D / / B C$ ， $A B = B C = C D = 1$ ， $D A = 2$ ， $D P ⊥$ 平面 $A B P$ ， $O ， M$ 分别是 $A D ， P B$ 的中点．

(1)、求证： $P D / /$ 平面 $O C M$ ；

(2)、若 $A P$ 与平面 $P B D$ 所成的角为 $60^{\circ}$ ，求线段 $P B$ 的长．

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20. 在所有棱长都相等的三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B_{1} B C = 60 °$ .

(1)、证明： $A B_{1} ⊥ B C$ ；

(2)、若二面角 $A - B C - B_{1}$ 的大小为 $60 °$ ，求 $B C_{1}$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值.

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21. 如图，已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 4 y$ 上一点 $Q (- 2 ， 1)$ ，过点 $Q$ 作直线 $Q T$ 交抛物线 $C$ 于另一点 $T$ ，点 $B$ 在线段 $Q T$ 上， $M$ 在抛物线 $C$ 上， $B M ⊥ x$ 轴， $M A ⊥ Q T$ 于点 $A$ .

(1)、若 $T (\frac{10}{3} ， \frac{25}{9})$ ，求 $| M A |$ 的最大值；

(2)、求使等式 ${| Q B |}^{2} = | Q A | \cdot | Q T |$ 恒成立的直线 $Q T$ 的方程.

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22. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左、右顶点分别为 $A$ ， $B$ ，圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上有一动点 $P$ ， $P$ 在 $x$ 轴上方，点 $C (1 ， 0)$ ，直线 $P A$ 交椭圆 $E$ 于点 $D$ ，连接 $D C$ ， $P B$ .

(1)、若 $∠ A D C = 90 °$ ，求 $Δ A D C$ 的面积 $S$ ；

(2)、设直线 $P B$ ， $D C$ 的斜率存在且分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若 $k_{1} = λ k_{2}$ ，求 $λ$ 的取值范围.

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