浙江省丽水市2019-2020学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-10-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若直线 $x + 2 y + 1 = 0$ 的斜率为 $k$ ，在 $y$ 轴上的截距为 $b$ ，则（）

A、 $k = - 2$ ， $b = - \frac{1}{2}$ B、 $k = - \frac{1}{2}$ ， $b = - 1$ C、 $k = - \frac{1}{2}$ ， $b = - \frac{1}{2}$ D、 $k = - 2$ ， $b = - 1$

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2. 圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 2$ 与圆 $C_{2} ： {(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 8$ 的位置关系是（）

A、相交 B、内切 C、外切 D、相离

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3. 椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的焦点坐标是（）

A、 $(0, \pm 1)$ B、 $(\pm 1, 0)$ C、 $(0, \pm \sqrt{5})$ D、 $(\pm \sqrt{5}, 0)$

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4. 已知 $m$ ， $l$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，下列命题中不正确的是（）

A、若 $l / / α$ ， $l ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $l / / m$ ， $l ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α / / β$ C、若 $l / / m$ ， $l ⊥ α$ ， $m / / β$ ，则 $α / / β$ D、若 $l ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ， $α / / β$ ，则 $l / / m$

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5. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点在 $P$ 双曲线上，若 $| P F_{1} | = 5$ ，则 $| P F_{2} | =$ （）

A、1 B、9 C、1或9 D、7

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6. “ $\ln (a - 2) - \ln (b - 1) > 0$ ”是“ $\frac{a}{b} > 1$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 直线 $a x + b y + a + b = 0 (a b \neq 0)$ 和圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 5 = 0$ 的交点个数（）

A、0 B、1 C、2 D、与 $a$ ， $b$ 有关

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8. 我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chu meng）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体 $A B C D E F$ 是一个刍甍，其中 $△ B C F$ 是正三角形， $A B = 2 B C = 2 E F$ ，则以下两个结论：① $A B / / E F$ ；② $B F ⊥ E D$ ，（）

A、①和②都不成立 B、①成立，但②不成立 C、①不成立，但②成立 D、①和②都成立

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9. 已知 $A (- 1, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，点 $P (x, y) (y \neq 0)$ 在曲线 $\sqrt{x^{2} + y^{2} + 4 x + 4} - \sqrt{x^{2} + y^{2} - 4 x + 4} = 2$ 上，若直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，则（）

A、 $k_{1} \cdot k_{2} = - \frac{1}{3}$ B、 $k_{1} \cdot k_{2} = - 3$ C、 $k_{1} \cdot k_{2} = \frac{1}{3}$ D、 $k_{1} \cdot k_{2} = 3$

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10. 若实数 $x$ ， $y$ 满足方程 $x \cos θ + y \sin θ = 1 (θ \in R)$ ，则（）

A、 $| x | + | y | \leq \sqrt{2}$ B、 $| x | + | y | \geq \sqrt{2}$ C、 $x^{2} + y^{2} \leq 1$ D、 $x^{2} + y^{2} \geq 1$

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11. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P B = B C = a$ ， $P A = A C = b (a < b)$ ，设二面角 $P - A B - C$ 的平面角为 $α$ ，则（）

A、 $α + ∠ P C A + ∠ P C B > π$ ， $2 α < ∠ P A C + ∠ P B C$ B、 $α + ∠ P C A + ∠ P C B < π$ ， $2 α < ∠ P A C + ∠ P B C$ C、 $α + ∠ P C A + ∠ P C B > π$ ， $2 α > ∠ P A C + ∠ P B C$ D、 $α + ∠ P C A + ∠ P C B < π$ ， $2 α > ∠ P A C + ∠ P B C$

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12. 已知直线 $l ： y = k x + m$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且直线 $l$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $C$ ， $D$ ．若点 $C$ ， $D$ 三等分线段 $A B$ ，则（）

A、 $k^{2} = \frac{1}{4}$ B、 $k^{2} = \frac{9}{16}$ C、 $m^{2} = \frac{3}{2}$ D、 $m^{2} = \frac{3}{5}$

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二、双空题

13. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的焦距是，渐近线方程是.

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14. 已知直线 $l_{1} ： 2 x + 3 y - 8 = 0$ 和 $l_{2} ： a x - 6 y - 10 = 0$ ．若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则实数 $a =$ ，两直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 间的距离是．

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15. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} x + y \geq m ， \\ x + 2 y \leq 2 ， \\ y \geq 0. \end{array}$ 若 $z = 2 x - y$ 的最小值为 $- 1$ ，则 $m =$ ， $z$ 的最大值是．

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三、填空题

16. 某几何体的三视图如图所示（单位： $cm$ ），则该几何体的表面积是 $c m^{2}$ ．

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17. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ， $P$ 是抛物线 $C$ 上的点．若线段 $P F$ 被直线 $x = 2$ 平分，则 $| P F | =$ ．

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18. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，底面是边长为 $2$ 的正三角形， $A B = A C = A D = 4$ ，且 $E$ ， $F$ 分别是 $B C$ ， $A D$ 中点，则异面直线 $A E$ 与 $C F$ 所成角的余弦值为．

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19. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，上顶点为 $A$ ，点 $P$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 8$ 上，点 $Q$ 在椭圆上，则 $2 | P A | + | P Q | - | Q F |$ 的最小值是．

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四、解答题

20. 已知 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 m y + 2 m^{2} - 2 m + 1 = 0 (m \in R)$ 表示圆 $C$ 的方程．

(1)、求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若直线 $l : x + 2 y = 0$ 被圆 $C$ 截得的弦长为4，求实数 $m$ 的值．

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D ∥ B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C = 1$ ， $P A = A D = 2$ ．

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、在棱 $P C$ 上是否存在点 $H$ ，使得 $A H ⊥$ 平面 $P C D$ ？若存在，确定点 $H$ 的位置；若不存在，说明理由．

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22. 如图，在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $Δ A B C$ 是边长为 $4$ 的正三角形， $A_{1} B_{1} = A A_{1} =$ $C C_{1} = 2$ ， $B B_{1} = 3$ ， $E$ 是棱 $A_{1} C_{1}$ 的中点，点 $F$ 在棱 $A B$ 上，且 $A F = 3 F B$ ．

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、求直线 $E F$ 和平面 $A B C$ 所成角的正弦值．

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23. 已知直线 $l ： y = x + t$ 与抛物线 $M ： y^{2} = x$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $C$ ， $D$ 在抛物线 $M$ 上，且直线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $P (0 ， \frac{1}{2})$ ．

(1)、写出抛物线 $M$ 的焦点坐标和准线方程；

(2)、记 $△ P C D$ ， $△ P A B$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{1}{9}$ ，求实数 $t$ 的值．

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