浙江省湖州市2019-2020学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-10-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列四条直线中，倾斜角最大的是（）

A、 $x - y - 1 = 0$ B、 $x + y - 1 = 0$ C、 $\sqrt{3} x - y - 1 = 0$ D、 $\sqrt{3} x + y - 1 = 0$

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2. 在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，点 $P (1, 1, 1)$ 关于平面 $x O z$ 对称的点Q的坐标是（）

A、 $(- 1, 1, 1)$ B、 $(1, - 1, - 1)$ C、 $(1, 1, - 1)$ D、 $(1, - 1, 1)$

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3. 直线 $x - \sqrt{3} y - 2 = 0$ 截圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 所得弦长是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、1

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4. 椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离是（）

A、3 B、5 C、8 D、10

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5. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、2 C、 $\frac{8}{3}$ D、4

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6. 设 $x \in R$ ，则“ $0 < x < 5$ ”是“ $| x - 1 | < 1$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知 $m, n$ 是两条不同直线， $α, β, γ$ 是三个不同平面，下列命题中正确的是（）

A、若 $m ‖ α, n ‖ α,$ 则 $m ‖ n$ B、若 $α ⊥ γ, β ⊥ γ,$ 则 $α ‖ β$ C、若 $m ‖ α, m ‖ β,$ 则 $α ‖ β$ D、若 $m ⊥ α, n ⊥ α,$ 则 $m ‖ n$

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8. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，Q是平面 $A B C D$ 内一动点，若 $D_{1} Q$ 与 $D_{1} C$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ ，则动点Q的轨迹是（）

A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、圆

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9. 已知P为抛物线 $x^{2} = 12 y$ 上一个动点，Q为圆 ${(x - 4)}^{2} + y^{2} = 1$ 上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到x轴距离之和的最小值是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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10. 已知四棱锥 $S - A B C D$ 的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段 $S A$ 上的点（不含端点），设直线 $B E$ 与 $C D$ 所成的角为 $θ_{1}$ ，直线 $B E$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $θ_{2}$ ，二面角 $S - B C - D$ 的平面角为 $θ_{3}$ ，则（）

A、 $θ_{1} < θ_{3} ， θ_{2} < θ_{3}$ B、 $θ_{2} < θ_{1} ， θ_{2} < θ_{3}$ C、 $θ_{2} < θ_{1} ， θ_{3} < θ_{1}$ D、 $θ_{1} < θ_{2} ， θ_{3} < θ_{2}$

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二、双空题

11. 双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的离心率是，渐近线方程是.

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12. 棱长为1的正方体的内切球的半径是，该正方体的外接球的表面积是.

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13. 已知圆 $O_{1} : x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $O_{2} : {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ 相交于A，B两点，则两圆的圆心 $O_{1}$ ， $O_{2}$ 所在直线方程是，两圆公共弦 $A B$ 的长度是

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14. 已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为1的正方形， $A A_{1} = 2$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60^{°}$ ，则 $\vec{A D_{1}} \cdot \vec{A C} =$ . $| {\vec{A C}}_{1} | =$ .

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三、填空题

15. 过双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则双曲线C的标准方程是.

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16. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = B C = C A = A P = 3$ ， $P B = 4$ ， $P C = 5$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的体积是.

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17. 在△ABC中，B(10，0)，直线BC与圆Γ：x²＋(y－5)²＝25相切，切点为线段BC的中点．若△ABC的重心恰好为圆Γ的圆心，则点A的坐标为．

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四、解答题

18. 已知直线 $l ： x + y + 2 = 0$ 分别与x轴，y轴交于A，B两点，圆 $C ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 2$ .

(1)、已知平行于 $l$ 的直线 $l_{1}$ 与圆C相切，求直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、已知动点P在圆C上，求 $Δ A B P$ 的面积的取值范围.

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19. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M是线段 $A C$ 上的中点.

(1)、证明： $A_{1} M / /$ 平面 $C B_{1} D_{1}$ ；

(2)、求异面直线 $A_{1} M$ 与 $C D_{1}$ 的所成角的余弦值.

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20. 设抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，过F且倾斜角为45°的直线 $l$ 与C交于A，B两点.

(1)、求 $| A B |$ 的值；

(2)、求过点A，B且与抛物线C的准线相切的圆的方程.

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21. 如图，已知三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $Δ A B C$ 和 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ 均为等边三角形， $A B = 2 A A_{1} = 2 C C_{1} = 2 A_{1} B_{1}$ ，O为 $A C$ 的中点.

(1)、证明： $O B ⊥ A A_{1}$ ；

(2)、求直线 $O B_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值.

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22. 如图，已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $P (2 ， 0)$ ，且离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，圆 $C_{2}$ 以椭圆 $C_{1}$ 的短轴为直径.过点P作互相垂直的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，且直线 $l_{1}$ 交椭圆C于另一点D，直线 $l_{2}$ 交圆 $C_{2}$ 于A，B两点.

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 的标准方程；

(2)、求 $Δ A B D$ 面积的最大值.

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