浙江省杭州市七县区2019-2020学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-10-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知平面中的两点 $F_{1} (- 2, 0) ， F_{2} (2, 0)$ ，则满足 ${M | | | M F_{1} | - | M F_{2} | | = 1}$ 的点M的轨迹是（）

A、椭圆 B、双曲线 C、一条线段 D、两条射线

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2. 在空间直角坐标系中，与点A（1，2，3）关于平面xOy对称的点的坐标是（）

A、（1，2，-3） B、（-1，-2，-3） C、（-1，-2，3） D、（1，-2，3）

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3. 直线 $y = x + 1$ 被圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 截得的弦长为（）

A、 $2$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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4. 某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{64}{3}$ B、 $\frac{32}{3}$ C、 $\frac{16}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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5. 已知直线 $l$ 和平面 $α$ 内的两条直线 $m, n$ ，则“ $l ⊥ α$ ”是“ $l ⊥ m$ 且 $l ⊥ n$ ”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知 $P 、 Q$ 分别为直线 $l_{1} : 3 x + 4 y - 4 = 0$ 与 $l_{2} : 3 x + 4 y + 1 = 0$ 上的两个动点，则线段 $P Q$ 的长度的最小值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、1 C、 $\frac{6}{5}$ D、2

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7. 如图，在正四面体 $O A B C$ 中， $D$ 是 $O A$ 的中点，则 $B D$ 与 $O C$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{33}}{6}$

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8. 棱长都相等的正三棱柱 $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 中， $P$ 是侧棱 $A A^{'}$ 上的点（不含端点）.记直线 $P B$ 与直线 $A C$ 所成的角为 $α$ ，直线 $P B$ 与底面 $A B C$ 所成的角为 $β$ ，二面角 $P - B^{'} B - C$ 的平面角为 $γ$ ，则（）

A、 $γ < β < α$ B、 $γ < α < β$ C、 $β < γ < α$ D、 $α < β < γ$

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9. 在平面直角坐标系中， $Q$ 是圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 9$ 上的动点，满足条件 $| M O | = 2 | M Q |$ 的动点 $M$ 构成集合 $D$ ，则集合 $D$ 中任意两点间的距离 $d$ 的最大值为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{2}$ C、6 D、12

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10. 已知 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 是椭圆 $4 x^{2} + y^{2} = 1$ 上两个不同点，且满足 $4 x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = \frac{1}{2}$ ，则 $| 2 x_{1} + y_{1} - 1 | + | 2 x_{2} + y_{2} - 1 |$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{6} - 2$ B、4 C、 $\sqrt{6} + 2$ D、 $2 \sqrt{6}$

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二、双空题

11. 双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{7} = 1$ 的离心率为，渐近线方程为.

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12. 在平面直角坐标系中，经过 $(0, 0), (- 2, 0), (0, - 4)$ 三点的圆的标准方程为，其半径为

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三、填空题

13. 已知正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的棱长为2，棱 $A B ， A D ， A A^{'}$ 的中点分别为 $E ， F ， G$ ，首先截去三棱锥 $A - E F G$ ，类似的，再截去另外7个三棱锥，则余下的几何体的表面积为.

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14. 椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的长轴右顶点、短轴上顶点分别为 $A, B$ ，点M是椭圆上第一象限内的点，O为坐标原点，当四边形AOBM面积最大时，点 $M$ 的坐标是.

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15. 过抛物线 $y^{2} = 2 x$ 焦点 $F$ 的直线与该抛物线交于 $A, B$ 两点，再过点 $F$ 作线段 $A B$ 的垂线，交抛物线的准线于点 $G$ ，若 $| F G | = \frac{3}{2}$ ， $O$ 为坐标原点，则 $S_{Δ A O B}$ = .

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16. 在矩形 $A B C D$ 中， $A D =1$ ，点 $E$ 为线段 $C D$ 中点，如图3所示，将 $Δ A E D$ 沿着 $A E$ 翻折至 $Δ A E D^{'}$ （点 $D^{'}$ 不在平面 $A B C D$ 内），记线段 $C D^{'}$ 中点为 $F$ ，若三棱锥 $F - A E D^{'}$ 体积的最大值为 $\frac{\sqrt{5}}{15}$ ，则线段 $A B$ 长度的最大值为.

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四、解答题

17. 已知点 $P (0, a)$ 及圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 3 = 0$ .
（Ⅰ）若点 $P (0, a)$ 在圆 $C$ 内部，求实数 $a$ 的取值范围；

（Ⅱ）当 $a = - 2$ 时，求线段 $P C$ 的中垂线所在直线的方程.

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18. 已知抛物线 $Γ ： y^{2} = 4 x$ 焦点为 $F$ ，准线与 $x$ 轴的交点为 $M$ .
（Ⅰ）抛物线 $Γ$ 上的点P满足 $| P F | = 5$ ，求点 $P$ 的坐标；

（Ⅱ）设点 $A$ 是抛物线 $Γ$ 上的动点，点 $B$ 是 $F A$ 的中点， $\overset{⇀}{M C} = 2 \overset{⇀}{C B}$ ，求点 $C$ 的轨迹方程.

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19. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的菱形， $Δ S A B$ 是等边三角形， $∠ A B C = 120^{0}$ ， $S D = 3$ ， $M ， N$ 分别是 $S C ， C D$ 的中点.

（Ⅰ）求证： $C D ⊥$ 平面 $B M N$ ；

（Ⅱ）求直线 $S A 与平面 S C D$ 所成角的正弦值.

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20. 如图，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为4，离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，右焦点为 $F$ .

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过点 $F$ 的直线交椭圆 $C$ 于 $A ， B$ 两点，点 $B$ 关于原点的对称点为 $B^{'}$ ， $Δ A B B^{'}$ 的重心为点 $G$ ，求 $Δ B B^{'} G$ 面积的取值范围.

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