四川省资阳市2019-2020学年高三上学期理数第二次诊断考试试卷

试卷更新日期：2020-10-19 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 3 x - 10 \leq 0}$ ， $B = {x | x = 2^{n}, n \in N}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 1, 2}$ B、 ${1, 2}$ C、 ${1, 2, 4}$ D、 ${0, 1, 2, 4}$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z = (1 + i) (2 + i)$ ，则其共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 + 3 i$ B、 $1 - 3 i$ C、 $- 1 + 3 i$ D、 $- 1 - 3 i$

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3. 在平面直角坐标系中，若角 $α$ 的终边经过点 $P (\sin \frac{4 π}{3}, \cos \frac{4 π}{3})$ ，则 $\cos (π + α) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ ，且 $| O A | = \sqrt{3} | O B |$ （ $O$ 为坐标原点），则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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5. 函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{| e^{x} - 1 |}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 执行如图所示的程序框图，若输入 $x$ 的值分别为 $- 2$ ， $\frac{1}{9}$ ，输出 $y$ 的值分别为 $a$ ， $b$ ，则 $a + b =$ （）

A、-4 B、-2 C、 $- \frac{7}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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7. 如图，已知 $Δ A B C$ 中， $D$ 为 $A B$ 的中点， $\overset{⇀}{A E} = \frac{1}{3} \overset{⇀}{A C}$ ，若 $\overset{⇀}{D E} = λ \overset{⇀}{A B} + μ \overset{⇀}{B C}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $- \frac{5}{6}$ B、 $- \frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{5}{6}$

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8. 圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y - 2 = 0$ 上到直线 $l : x + y + \sqrt{2} = 0$ 的距离为 $1$ 的点共有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义．如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于－种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．

若在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为（）

A、 $\frac{9}{28}$ B、 $\frac{19}{28}$ C、 $\frac{27}{64}$ D、 $\frac{37}{64}$

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10. 关于函数 $f (x) = 3 \sin (2 x - \frac{π}{3}) + 1 (x \in R)$ 有下述四个结论：①若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = 1$ ，则 $x_{1} - x_{2} = k π (k \in Z)$ ；② $y = f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{2 π}{3} ， 1)$ 对称；③函数 $y = f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递增；④ $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后所得图象关于 $y$ 轴对称.其中所有正确结论的编号是（）

A、①②④ B、①② C、③④ D、②④

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11. 四面体 $P - A B C$ 的四个顶点坐标为 $P (0, 0, 2)$ ， $A (0, 0, 0)$ ， $B (0, 2 \sqrt{3}, 0)$ ， $C (3, \sqrt{3}, 0)$ ，则该四面体外接球的体积为（）

A、 $\frac{32 π}{3}$ B、 $\frac{20 \sqrt{5}}{3} π$ C、 $20 π$ D、 $\frac{64 \sqrt{2}}{3} π$

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12. 已知直线 $y = 2 x$ 与曲线 $f (x) = \ln (a x + b)$ 相切，则 $a b$ 的最大值为（）

A、 $\frac{e}{4}$ B、 $\frac{e}{2}$ C、e D、 $2 e$

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二、填空题

13. 已知圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形 $A B C D$ （如图）.若底面圆的弦 $A B$ 所对的圆心角为 $\frac{π}{3}$ ，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为.

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14. 某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，则由此估计甲获得冠军的概率为.

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15. 已知函数 $f (x) = e^{| x |} + x^{2} - e$ ，则满足不等式 $f (m - 2) \leq 1$ 的 $m$ 取值范围是．

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16. 某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售.现有8辆甲型车和4辆乙型车，甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次，乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次，甲型车每天费用320元，乙型车每天费用504元.若需要一天内把180吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆运送这批水果的费用最少为元.

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，首项为 $a_{1}$ ，且4， $a_{n}$ ， $S_{n}$ 成等差数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $a_{n}^{2} = 2^{b_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a \cos C + \frac{1}{2} c = b$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ，求 $b + c$ 的最大值.

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19. 已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关.现收集了一只该品种昆虫的产卵数

y

（个）和温度

x

（

^{\circ} C

）的7组观测数据，其散点图如所示：

根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数 $y$ 和温度 $x$ 可用方程 $y = e^{b x + a}$ 来拟合，令 $z = \ln y$ ，结合样本数据可知 $z$ 与温度 $x$ 可用线性回归方程来拟合．根据收集到的数据，计算得到如下值：

$\bar{x}$	$\bar{y}$	$\bar{z}$	$\sum_{i = 1}^{7} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{7} {(z_{i} - \bar{z})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{7} (x_{i} - \bar{x}) (z_{i} - \bar{z})$
27	74	3.573	182	11.9	46.418

表中 $z_{i} = \ln y_{i}$ ， $\bar{z} = \frac{1}{7} \sum_{i = 1}^{7} z_{i}$ ．

(1)、求

z

和温度

x

的回归方程（回归系数结果精确到0.001）；

(2)、求产卵数

y

关于温度

x

的回归方程；若该地区一段时间内的气温在

26^{\circ} C ~ 36^{\circ} C

之间（包括

26^{\circ} C

与

36^{\circ} C

），估计该品种一只昆虫的产卵数的范围.（参考数据：

e^{3.282} \approx 27

，

e^{3.792} \approx 44

，

e^{5.832} \approx 341

，

e^{6.087} \approx 440

，

e^{6.342} \approx 568

．）

附：对于一组数据 $(ω_{1} ， v_{1})$ ， $(ω_{2} ， v_{2})$ ，…， $(ω_{n} ， v_{n})$ ，其回归直线 $\hat{v} = \hat{α} + \hat{β} ω$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (ω_{i} - \bar{ω}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} {(ω_{i} - \bar{ω})}^{2}}$ ．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B$ ， $E$ 为线段 $P B$ 的中点，若 $F$ 为线段 $B C$ 上的动点（不含 $B$ ）.

(1)、平面 $A E F$ 与平面 $P B C$ 是否互相垂直？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；

(2)、求二面角 $B - A F - E$ 的余弦值的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - a \ln x - a x + a - e$ ．

(1)、若 $f (x)$ 为单调函数，求a的取值范围；

(2)、若函数 $f (x)$ 仅一个零点，求a的取值范围．

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22. 已知曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 \cos α \\ y = \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以平面直角坐标系的原点 $O$ 为极点， $x$ 的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、 $P$ ， $Q$ 是曲线 $C$ 上两点，若 $O P ⊥ O Q$ ，求 $\frac{{| O P |}^{2} \cdot {| O Q |}^{2}}{{| O P |}^{2} + {| O Q |}^{2}}$ 的值．

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23. 已知正实数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = 3$ ．

(1)、求 $\sqrt{2 a + 1} + \sqrt{2 b + 1}$ 最大值；

(2)、若不等式 $| x + 2 m | - | x - 1 | \leq \frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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