四川省攀枝花市2019-2020学年高三上学期理数第一次统考试卷

试卷更新日期：2020-10-19 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x (x - 2) < 0}$ ， $N = {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${0, 1, 2}$ B、 ${- 2, - 1}$ C、{1} D、 ${- 2, - 1, 0, 2}$

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2. 已知 $(1 + i) z = i$ （i是虚数单位），则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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3. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{6} = \frac{1}{2} a_{8} + 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前 $7$ 项的和 $S_{7} =$ （）

A、4 B、7 C、14 D、28

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4. 已知角 $α$ 的终边经过点 $(3, - 4)$ ，则 $\cos (\frac{π}{2} + α) =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5. 执行如图所示的程序框图，如果输入 $n = 6$ ， $m = 3$ ，则输出的 $p$ 等于（）

A、120 B、360 C、840 D、1008

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6. 一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为（）

A、1：3 B、1：4 C、1：5 D、1：6

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7. 函数 $f (x) = \frac{3 \cos x + 1}{x}$ 的部分图象大致是（）.

A、 B、 C、 D、

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8. 已知 $a = 3^{\frac{1}{2}}$ ， $b = \log_{2} \sqrt{3}$ ， $c = \log_{9} 2$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $c > b > a$

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9. 下列说法中正确的是（）

A、若命题“ $p \land q$ ”为假命题，则命题“ $p \lor q$ ”是真命题 B、命题“ $\forall x \in N^{*}$ ， $x^{3} \geq x^{2}$ ”的否定是“ $\forall x_{0} \in N^{*}$ ， $x_{0}^{3} < x_{0}^{2}$ ” C、设 $a, b \in R$ ，则“ $b (a - b) > 0$ ”是“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”的充要条件 D、命题“平面向量 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | \cdot | \overset{⇀}{b} | > | \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} |$ ，则 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 不共线”的否命题是真命题

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \sqrt{x} ， x > 0 \\ \frac{1}{2} x + 1 ， x \leq 0 \end{array}$ ，若 $m < n$ ， $f (n) = f (m)$ ，则 $n - m$ 的取值范围是（）

A、 $(1 ， 2]$ B、 $[1 ， 2)$ C、 $(\frac{3}{4} ， 2]$ D、 $[\frac{3}{4} ， 2)$

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11. 关于函数 $f (x) = \cos | x | + | \sin x |$ 有下述四个结论：
① $f (x)$ 是偶函数；② $f (x)$ 的最大值为2；③ $f (x)$ 在 $[- π ， π]$ 有 $3$ 个零点；④ $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{4})$ 单调递增.其中所有正确结论的编号是（）

A、①② B、①③ C、②④ D、①④

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12. 已知函数 $f (x) = (a e^{x} + e x) (e^{x} + e x)$ 与 $g (x) = e^{2 x}$ 的图象恰有三个不同的公共点（其中 $e$ 为自然对数的底数），则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{1}{2} ， 1)$ B、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$ D、 $(1 ， \sqrt{2})$

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二、填空题

13. 若平面单位向量 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 满足 $(\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}) \cdot \overset{⇀}{b} = \frac{3}{2}$ ，则向量 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 的夹角为．

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14. 已知幂函数 $y = m x^{n}$ $(m, n \in R)$ 的图象经过点 $(4, 2)$ ，则 $m - n =$ ．

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15. 正项等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{3} = \frac{5}{4}$ ，且2 $a_{2}$ ， $\frac{1}{2} a_{4}$ ， $a_{3}$ 成等差数列，设 $b_{n} = a_{n} a_{n + 1} (n \in N^{*})$ ，则 $b_{1} b_{2} \cdot \dots \cdot b_{n}$ 取得最小值时的 $n$ 值为．

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16. 已知函数 $f (x)$ 对 $\forall x \in R$ 满足 $f (x + 2) = f (- x)$ ， $f (x + 1) = f (x) f (x + 2)$ ，且 $f (x) > 0$ ，若 $f (1) = 4$ ，则 $f (2019) + f (2020) =$ ．

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三、解答题

17. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n} = 2 a_{n + 1} - {(\frac{1}{2})}^{n}$ $(n \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = 2^{n} \cdot a_{n} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求证：数列 ${b_{n}}$ 是等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \log_{2} \frac{n}{a_{n}}$ ，求数列 ${\frac{2}{c_{n} c_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $\tan \frac{A}{2} (a \sin \frac{C}{2} + 2 b \cos \frac{A}{2})$ = $a \cos \frac{C}{2}$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = 6$ ，求 $a^{2} + c^{2}$ 的最小值．

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $Δ P A C$ 为等边三角形， $A B ⊥ A C$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点.

(1)、证明： $A C ⊥ P D$ ；

(2)、若 $A B = A C = 2$ ，求二面角 $D - P A - B$ 平面角的余弦值.

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点与抛物线 $y^{2} = 4 \sqrt{3} x$ 的焦点重合，且此抛物线的准线被椭圆C截得的弦长为1．
（I）求椭圆C的标准方程；

（II）直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为 $M (1, t)$ ，直线m是线段AB的垂直平分线，试问直线 $m$ 过定点坐标．

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21. 已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} - a \ln x (a \in R)$ ．
（I）若点 $(e ， - \frac{1}{e})$ 在 $f (x)$ 图像上，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(e ， - \frac{1}{e})$ 处的切线方程；

（II）若函数 $g (x) = x^{2} \cdot f^{'} (x) + 2 \ln x - a x$ （其中 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数）有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < e$ ，求 $g (x_{1}) - g (x_{2})$ 的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = r \cos φ ， \\ y = 2 + r \sin φ \end{matrix}$ ( $r > 0$ ， $φ$ 为参数)，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{1}$ 经过点 $P (2, \frac{π}{6})$ ，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} (2 + \cos 2 θ) = 6$ ．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程；

(2)、若 $A (ρ_{1}, α)$ ， $B (ρ_{2}, α + \frac{π}{2})$ 是曲线 $C_{2}$ 上两点，求 $\frac{1}{| O A |^{2}} + \frac{1}{| O B |^{2}}$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 1 |$

(1)、解不等式 $f (x) < | x | + 3$ ；

(2)、若对于 $x$ ， $y \in R$ ，有 $| x - 3 y + 1 | \leq \frac{1}{3}$ ， $| 2 y - 1 | \leq \frac{1}{6}$ ，求证： $f (x) \leq \frac{7}{6}$ .

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