四川省绵阳市2019-2020学年高三上学期理数第一次诊断性考试试卷

试卷更新日期：2020-10-19 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知 $A = {x \in N * | x \leq 3}$ ， $B = {x | x^{2} - 4 x \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1 ， 2 ， 3}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 $(0 ， 3]$ D、 $(3 ， 4]$

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2. 若 $b < a < 0$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $a b > a^{2}$ C、 $|a|+|b|>|a+b|$ D、 $\sqrt[3]{a} > \sqrt[3]{b}$

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3. 下列函数中定义域为 $R$ ，且在 $R$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = x^{2}$ B、 $f (x) = \sqrt{x}$ C、 $f (x) = \ln | x |$ D、 $f (x) = e^{2 x}$

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4. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{3} = 2$ ， $S_{3} = 3$ ，则 $a_{6} =$ （）

A、4 B、5 C、10 D、15

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5. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x}}{2^{x} - 1}$ ，若 $f (- m) = 2$ ，则 $f (m) =$ （）

A、-2 B、-1 C、0 D、 $\frac{1}{2}$

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6. 已知命题 $p ：$ 函数 $y = \sin x + \frac{2}{\sin x}$ ， $x \in (0 ， π)$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ ；命题 $q ：$ 若向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{c}$ ，满足 $∴ (a + b) x^{2} + a = 0$ ，则 $∴ a = 0 ， b = 0$ ．下列命题中为真命题的是（）

A、 $(\neg p) \land q$ B、 $p \lor q$ C、 $p \land (\neg q)$ D、 $(\neg p) \land (\neg q)$

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7. 若 $a = {(\frac{1}{3})}^{0.6}$ ， $b = 3^{- 0.8}$ ， $c = \ln 3$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $b > c > a$ B、 $c > a > b$ C、 $c > b > a$ D、 $a > c > b$

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8. 已知x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x - y \leq 0 ， \\ x - y + 1 \geq 0 ， \\ x + y - 1 \geq 0 ， \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最小值为（）

A、4 B、2 C、1 D、 $\frac{1}{3}$

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9. 设函数 $f (x) = a e^{x} - \ln x$ （其中常数 $a \neq 0$ ）的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线为l，则l在y轴上的截距为（）

A、1 B、2 C、 $a e - 1$ D、 $1 - 2 a e$

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10. 某数学小组到进行社会实践调查，了解到某公司为了实现1000万元利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．同学们利用函数知识，设计了如下的函数模型，其中符合公司要求的是（参考数据： ${1.002}^{1000} \approx 7.37$ ， $\lg 7 \approx 0.845$ ）（）

A、 $y = 0.25 x$ B、 $y = {1.002}^{x}$ C、 $y = \log_{7} x + 1$ D、 $y = \tan (\frac{x}{10} - 1)$

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11. 函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 上单调递增，且图象关于 $x = - π$ 对称，则 $ω$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、2 D、 $\frac{8}{3}$

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12. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ A = 60^{°}$ ， $∠ A$ 的平分线AD交边BC于点D，已知 $A D = 2 \sqrt{3}$ ，且 $λ \overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{A D} - \frac{1}{3} \overset{⇀}{A C} (λ \in R)$ ，则 $\overset{⇀}{A B}$ 在 $\overset{⇀}{A D}$ 方向上的投影为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、3 D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且满足 $f (x) = f (x + 2)$ ，当 $x \in [0, 2)$ 时， $f (x) = e^{x}$ ，则 $f (7) =$ ．

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14. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (- 2, 2)$ ，向量 $\overset{⇀}{b}$ 的模为1，且 $| \overset{⇀}{a} - 2 \overset{⇀}{b} | = 2$ ，则 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为．

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15. 2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，壮军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升飞机以 $72 \sqrt{2}$ 千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西 $60^{°}$ 的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东 $75^{°}$ 的方向上，仰角为 $30^{\circ}$ ，则直升机飞行的高度为千米．（结果保留根号）

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16. 若函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + m (\ln x - x) - x$ 有且仅有1个零点，则实数m的取值范围为．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = {(\cos x - \sin x)}^{2} - 2 \sin^{2} x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期与单调递减区间；

(2)、若 $f (x_{0}) = - 1$ ，且 $x_{0} \in (- π, - \frac{π}{2})$ ，求 $x_{0}$ 的值．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 2} + a_{n} = 2 a_{n + 1}$ ， $n \in N^{*}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{4} = 7$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = 2^{n + 1} - 2$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = 2^{a_{n}} + \log_{2} b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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19. 已知 $Δ A B C$ 中三个内角A，B，C满足 $\sqrt{2} \cos B = \sin (A + C) + 1$ ．

(1)、求 $\sin B$ ；

(2)、若 $C - A = \frac{π}{2}$ ，b是角B的对边， $b = \sqrt{3}$ ，求 $Δ A B C$ 的面积．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x - 2}{\ln x + 2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上的值域；

(2)、若实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 均大于1且满足 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = \frac{1}{2}$ ，求 $f (x_{1} x_{2})$ 的最小值．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2}$ ， $a \in R$ ， $x \in (0 ， + \infty)$ ．

(1)、若 $f (x)$ 存在极小值，求实数a的取值范围；

(2)、若 $0 < a \leq \frac{e^{2}}{2}$ ，求证： $f (x) > a x (\ln x - x)$ ．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \cos α + \sqrt{3} \sin α, \\ y = \sin α - \sqrt{3} \cos α \end{array}$ （ $α$ 为参数）．坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ \cos (θ - \frac{π}{6}) = 3$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程和极坐标方程；

(2)、设射线 $O M : θ = \frac{π}{3}$ 与曲线 $C$ 交于点 $A$ ，与直线 $l$ 交于点 $B$ ，求线段 $A B$ 的长．

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23. 设函数 $f (x) = | x - m | + | x + 1 | - 5 (m \in R)$ ．

(1)、当 $m = 2$ 时，求不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集；

(2)、若 $f (x) \geq - 2$ ，求实数m的取值范围．

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