四川省眉山市2019-020学年高三上学期理数第二次诊断性考试试卷

试卷更新日期：2020-10-19 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，则满足A∪C＝B的集合C的个数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z = 2 i + \frac{9 - 3 i}{1 + i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $2 + 3 \sqrt{5}$ B、 $\frac{\sqrt{202}}{2}$ C、 $5$ D、 $25$

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3. 已知平面向量 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且 $| \overset{⇀}{a} | = 1$ ， $| \overset{⇀}{b} | = 2$ ，则 $2 \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角是（）

A、 $\frac{5π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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4. 空气质量指数

A Q I

是一种反映和评价空气质量的方法，

A Q I

指数与空气质量对应如下表所示：

$A Q I$	0～50	51～100	101～150	151～200	201～300	300以上
空气质量	优	良	轻度污染	中度污染	重度污染	严重污染

如图是某城市2018年12月全月的指 $A Q I$ 数变化统计图．

根据统计图判断，下列结论正确的是（）

A、整体上看，这个月的空气质量越来越差 B、整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量 C、从

A Q I

数据看，前半月的方差大于后半月的方差 D、从

A Q I

数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值

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5. ${(x - \frac{2}{x^{2}})}^{6}$ 的展开式中，常数项为（）

A、-60 B、-15 C、15 D、60

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6. 若数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1, a_{2} = 2, (S_{n} + 1) (S_{n + 2} + 1) = {(S_{n + 1} + 1)}^{2}$ ，则 $S_{n} =$ （）

A、 $\frac{n (n + 1)}{2}$ B、 $2^{n - 1}$ C、 $2^{n} - 1$ D、 $2^{n - 1} + 1$

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7. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，若x₁ ， x₂∈R，则“x₁+x₂＝0”是“f（x₁）+f（x₂）＝0”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知函数 $f (x) ＝ A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，点 $(0 ， - \frac{3}{2}) ， (\frac{π}{3} ， 0) ，$ $(\frac{7 π}{3} ， 0)$ 在图象上，若 $x_{1} ， x_{2} \in (\frac{π}{3} ， \frac{7 π}{3})$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) ＝ f (x_{2})$ ，则 $f (x_{1} + x_{2}) =$ （）

A、3 B、 $\frac{3}{2}$ C、0 D、 $- \frac{3}{2}$

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9. 若直线x﹣my+m＝0与圆（x﹣1）²+y²＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m的取值范围是（）

A、（0，1） B、（0，2） C、（﹣1，0） D、（﹣2，0）

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10. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，四面体 $A B C D$ 各顶点坐标分别为 $A (2 ， 2 ， 1) ， B (2 ， 2 ， - 1)$ ， $C (0 ， 2 ， 1) ， D (0 ， 0 ， 1)$ ，则该四面体外接球的表面积是（）

A、 $16 π$ B、 $12 π$ C、 $4 \sqrt{3} π$ D、 $6 π$

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11. 设 $P$ 是抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 上的动点， $Q$ 是 $C$ 的准线上的动点，直线 $l$ 过 $Q$ 且与 $O Q$ （ $O$ 为坐标原点）垂直，则 $P$ 到 $l$ 的距离的最小值的取值范围是（）

A、 $（ 0 ， 1 ）$ B、 $（ 0 ， 1]$ C、 $[0 ， 1]$ D、 $（ 0 ， 2]$

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12. 已知函数 $f (x) = \ln x + (a - 1) x + 2 - 2 a$ ．若不等式 $f (x) > 0$ 的解集中整数的个数为3，则a的取值范围是（）

A、 $(1 - \ln 3 ， 0]$ B、 $(1 - \ln 3 ， 2 \ln 2]$ C、 $(1 - \ln 3 ， 1 - \ln 2]$ D、 $[0 ， 1 - \ln 2]$

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二、填空题

13. 中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走 $1260$ 里，第一日，第四日，第七日所走之和为 $390$ 里，则该男子的第三日走的里数为．

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14. 根据下列算法语句，当输入x，y∈R时，输出s的最大值为．

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15. 已知 $f (x)$ 是 $R$ 上的偶函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = | x^{2} - 3 x |$ ，则不等式 $f (x - 2) \leq 2$ 的解集为．

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16. 设m，n为平面α外两条直线，其在平面α内的射影分别是两条直线m₁和n₁ ，给出下列4个命题：①m₁∥n₁⇒m∥n；②m∥n⇒m₁与n₁平行或重合；③m₁⊥n₁⇒m⊥n；④m⊥n⇒m₁⊥n₁ ．其中所有假命题的序号是．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $\sin A, \sin B, \sin C$ 成等差数列，且 $\cos C = \frac{1}{3}$ .

(1)、求 $\frac{b}{a}$ 的值；

(2)、若 $c = 11$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A，B实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗．为观测其生长情况，分别在A，B试验地随机抽选各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗．

附：下面的临界值表仅供参考．

P(K²≥k₀)	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．）

(1)、求图中a的值，并求综合评分的中位数；

(2)、用样本估计总体，以频率作为概率，若在A，B两块实验地随机抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；

(3)、填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关．

	优质花苗	非优质花苗	合计
甲培育法	20
乙培育法		10
合计

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19. 如图，在边长为4的正方形 $ABCD$ 中，点 $E ， F$ 分别是 $AB ， BC$ 的中点，点 $M$ 在 $AD$ 上，且 $A M = \frac{1}{4} A D$ ，将 $△ AED ， △ DCF$ 分别沿 $DE ， DF$ 折叠，使 $A ， C$ 点重合于点 $P$ ，如图所示 $2$ .

(1)、试判断 $PB$ 与平面 $MEF$ 的位置关系，并给出证明；

(2)、求二面角 $M - EF - D$ 的余弦值.

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (\sqrt{2}, 0)$ ，过点 $F$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过椭圆内一点 $P (0, t)$ ，斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $M, N$ 两点，设直线 $O M, P N$ （ $O$ 为坐标原点）的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，若对任意 $k$ ，存在实数 $λ$ ，使得 $k_{1} + k_{2} = λ k$ ，求实数 $λ$ 的取值范围.

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21. 已知函数f（x）＝e^x $- \frac{1}{2}$ （x﹣a）²+4．

(1)、若f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，求a的取值范围；

(2)、若x≥0，不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 $M$ 的极坐标方程为 $ρ ＝ 4 c o s θ$ ．

(1)、求 $M$ 的直角坐标方程；

(2)、将圆 $M$ 平移使其圆心为 $N (- \frac{1}{2} ， 0)$ ，设 $P$ 是圆 $N$ 上的动点，点 $A$ 与 $N$ 关于原点 $O$ 对称，线段 $P A$ 的垂直平分线与 $P N$ 相交于点 $Q$ ，求 $Q$ 的轨迹的参数方程．

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23. 设a＞0，b＞0，且a+b＝ab．

(1)、若不等式|x|+|x﹣2|≤a+b恒成立，求实数x的取值范围．

(2)、是否存在实数a，b，使得4a+b＝8？并说明理由．

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