四川省泸州市2019-2020学年高三上学期理数第一次教学质量诊断性考试试卷

试卷更新日期：2020-10-19 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，集合 $B = {x ‖ x | \leq 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、{3} B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 下列函数 $f (x)$ 中，满足“对任意 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ 都有 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ ”的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x}$ B、 $f (x) = 2^{- x}$ C、 $f (x) = \ln x$ D、 $f (x) = x^{3}$

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3. “ $\sin α = 0$ ”是“ $\sin 2 α = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（-2）=（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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5. 一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面交线的位置关系是（）

A、异面 B、相交 C、不能确定 D、平行

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6. 如右图所示的图象对应的函数解析式可能是（）

A、 $y = (x^{2} - 2 x) e^{x}$ B、 $y = \frac{2^{x} \cdot \sin x}{4 x + 1}$ C、 $y = \frac{x}{\ln x}$ D、 $y = 2^{x} - x^{2} - 1$

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7. 已知 $p ： \forall α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $\sin α < α$ ， $q ： \exists x_{0} \in N$ ， $x_{0}^{2} - 2 x_{0} - 1 = 0$ ，则下列选项中是假命题的为（）

A、 $p \lor q$ B、 $p \land (- q)$ C、 $p \land q$ D、 $p \lor (- q)$

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8. 我国古代数学名著《九章算术》中，割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，如在 $\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}}$ 中，“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程 $\sqrt{2 + x} = x$ 确定x的值，类似地 $\sqrt{3 + 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{3 + \dots}}}$ 的值为（）

A、3 B、 $\frac{\sqrt{13} + 1}{2}$ C、6 D、 $2 \sqrt{2}$

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9. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的图象如图所示，下列关于 $f (x)$ 的描述中，正确的是（）

A、 $\tan φ = \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、最小正周期为 $2 π$ C、对任意 $x \in R$ 都有 $f (\frac{π}{3} - x) = f (x)$ D、函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后图象关于坐标原点对称

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10. 若将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，则x min后甲桶中剩余的水量符合衰减函数 $f (x) = a e^{n x}$ （其中e是自然对数的底数）.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，再过m min后，甲桶中的水只有 $\frac{a}{4} L$ ，则m的值为（）

A、9 B、7 C、5 D、3

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11. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD，且ABCD为矩形， $∠ D P A = \frac{π}{2}$ ， $A D = 2 \sqrt{3}$ ， $A B = 2$ ， $P A = P D$ ，则四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球的体积为（）

A、 $\frac{16}{3} π$ B、 $\frac{32}{3} π$ C、 $\frac{64}{3} π$ D、 $16 π$

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12. 已知函数 $f (x) = \log_{3} x$ 的图象与函数 $g (x)$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称，函数 $h (x)$ 是最小正周期为2的偶函数，且当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $h (x) = g (x) - 1$ ，若函数 $y = k \cdot f (x) + h (x)$ 有3个零点，则实数k的取值范围是（）

A、 $(1 ， 2 \log_{7} 3)$ B、 $(- 2 ， - 2 \log_{5} 3)$ C、 $(- 2 \log_{5} 3 ， - 1)$ D、 $(- \log_{7} 3 ， - \frac{1}{2})$

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = \sqrt{2 - \log_{2} x}$ 的定义域为．

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14. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} ， 0 \leq x < 5 \\ f (x - 5) ， x \geq 5 \end{matrix}$ ，那么 $f (18)$ 的值为.

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15. 当 $x = x_{0}$ 时，函数 $f (x) = \cos 2 x + 2 \sin (\frac{π}{2} + x)$ 有最小值，则 $\sin x_{0}$ 的值为.

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16. 已知正方体有8个不同顶点，现任意选择其中4个不同顶点，然后将它们两两相连，可组成平面图形成空间几何体.在组成的空间几何体中，可以是下列空间几何体中的.（写出所有正确结论的编号）
①每个面都是直角三角形的四面体；

②每个面都是等边三角形的四面体；

③每个面都是全等的直角三角形的四面体；

④有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体.

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + a x$ （其中a为实数）.

(1)、若 $x = - 1$ 是 $f (x)$ 的极值点，求函数 $f (x)$ 的减区间；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(- 2 ， + \infty)$ 上是增函数，求a的取值范围.

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18. 在 $Δ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $b \sin C = c \sin \frac{A + C}{2}$ .

(1)、求B；

(2)、已知 $c = 2$ ，AC边上的高 $B D = \frac{3 \sqrt{21}}{7}$ ，求a的值.

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19. 如图，已知BD为圆锥AO底面的直径，若 $A B = B D = 4$ ，C是圆锥底面所在平面内一点， $C D = \sqrt{2}$ ，且AC与圆锥底面所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{7}$ .

(1)、求证：平面 $A O C ⊥$ 平面ACD；

(2)、求二面角 $B - A D - C$ 的平面角的余弦值.

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20. 已知函数 $f (x) = 2 \cos x (\sin x + \cos x) (x \in R)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值及取最小值时x取值的集合；

(2)、若将函数 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标扩大为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，且 $g (α) = \frac{3 + \sqrt{2}}{3}$ ， $α \in (\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{2})$ ，求 $g (α - \frac{π}{2})$ 的值.

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = \frac{1}{x} + a$ （其中a是常数）.

(1)、求过点 $P (0 ， - 1)$ 与曲线 $f (x)$ 相切的直线方程；

(2)、是否存在 $k \neq 1$ 的实数，使得只有唯一的正数a，当 $x > 0$ 时不等式 $f (x + \frac{1}{a}) g (x) \leq k (x + \frac{1}{a})$ 恒成立，若这样的实数k存在，试求k，a的值；若不存在.请说明理由.

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22. 如图，在极坐标系Ox中，过极点的直线l与以点 $A (2 ， 0)$ 为圆心、半径为2的圆的一个交点为 $B (2 ， \frac{π}{3})$ ，曲线 $M_{1}$ 是劣弧 $\overset{⌢}{O B}$ ，曲线 $M_{2}$ 是优弧 $\overset{⌢}{O B}$ .

(1)、求曲线 $M_{1}$ 的极坐标方程；

(2)、设点 $P (ρ_{1} ， θ)$ 为曲线 $M_{1}$ 上任意一点，点 $Q (ρ_{2} ， θ - \frac{π}{3})$ 在曲线 $M_{2}$ 上，若 $| O P | + | O Q | = 6$ ，求 $θ$ 的值.

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23. 设 $f (x) = | x - 3 | + | x - 4 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) \leq 2$ ；

(2)、已知x，y实数满足 $2 x^{2} + 3 y^{2} = a (a > 0)$ ，且 $x + y$ 的最大值为1，求a的值.

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