四川省达州市2019-2020学年高三上学期理数第一次诊断性测试试卷

试卷更新日期：2020-10-19 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | - 1 < x \leq 2}$ ， $B = {- 1, 0, 1, 2, 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 0, 1, 2}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${0, 1}$ D、 ${x | - 1 < x \leq 2, 或 x = 3}$

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2. 若向量 $a = (4, 2)$ ， $b = (6, k)$ ，则 $a / / b$ 的充要条件是（）

A、 $k = - 12$ B、 $k = 12$ C、 $k = - 3$ D、 $k = 3$

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3. 在 $30$ 名运动员和 $6$ 名教练员中用分层抽样的方法共抽取 $n$ 人参加新闻发布会，若抽取的 $n$ 人中教练员只有 $1$ 人，则 $n =$ （）

A、 $5$ B、 $6$ C、 $7$ D、 $8$

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4. 已知直线 $a$ ， $b$ ， $l$ ，平面 $α$ ， $β$ ，下列结论中正确的是（）

A、若 $a \subset α$ ， $b \subset α$ ， $l ⊥ a$ ， $l ⊥ b$ ，则 $l ⊥ α$ B、若 $a \subset α$ ， $b / / a$ ，则 $b / / α$ C、若 $α ⊥ β$ ， $a \subset α$ ，则 $a ⊥ β$ D、若 $α / / β$ ， $l ⊥ α$ ，则 $l ⊥ β$

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5. 若 $a = {0.3}^{0.2}$ ， $b = \log_{0.1} 2$ ， $c = {0.3}^{- 0.1}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $c > a > b$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $b > c > a$

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6. 二项式 ${(x + \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中，常数项是（）

A、20 B、120 C、15 D、30

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7. 已知直线 $y = - x + 3$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y = 0$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $| A B | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $2$

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8. 斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有，图一图二是斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个小长方体）组成.若棱台两底面面积分别是 $400 c m^{2}$ ， $900 c m^{2}$ ，高为 $9 c m$ ，长方体形凹槽的体积为 $4300 c m^{3}$ ，斗的密度是 $0.70 g / c m^{3}$ .那么这个斗的质量是（）注：台体体积公式是 $V = \frac{1}{3} (S^{'} + \sqrt{S^{'} S} + S) h$ .

A、 $3990 g$ B、 $3010 g$ C、 $7000 g$ D、 $6300 g$

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9. 若实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x \geq 0 ， \\ y \geq - 1 ， \\ x + 5 y + 1 \leq 0. \end{array}$ ，则 $2 x - y$ 的最大值为（）

A、-2 B、0 C、7 D、9

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} + 2 a x + \ln x$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上为增函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[0, 1]$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $(- 1, + \infty)$ D、 $(- 1, 1)$

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11. 已知 $A$ 是双曲线 $D$ ： $x^{2} - \frac{y^{2}}{35} = 1$ 右支上一点， $B$ 、 $C$ 分别是双曲线 $D$ 的左、右焦点。记 $Δ A B C$ 的内角为 $A$ ， $B$ ， $C$ ，当 $| A C | = 8$ 时， $\frac{\sin 2 B}{\sin A} =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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12. 过抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 焦点的直线交该抛物线 $C$ 于点 $A$ ， $B$ ，与抛物线 $C$ 的准线交于点 $P$ ，如图所示，则 $\overset{⇀}{P A} \cdot \overset{⇀}{P B}$ 的最小值是（）

A、8 B、12 C、16 D、18

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二、填空题

13. 已知随机变量 $y$ 与 $x$ 有相关关系 $\hat{y} = 2 x + 1$ ，当 $x = 3$ 时， $y$ 的预报值为.

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14. 复数 $\frac{3}{2 + i}$ 的实部为.

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15. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ)$ $(ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 图象的相邻两条对称轴的距离为 $\frac{π}{2}$ ，且 $f (\frac{π}{12}) = 2$ ，则 $f (\frac{π}{8}) =$ .

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16. $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，对 $\forall x \in R$ ，都有 $f (x + 4) = f (- x)$ ，当 $0 \leq x \leq 2$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} - 1, 0 \leq x < 1, \\ \log_{2} x + 1, 1 \leq x \leq 2 \end{array}$ ，则 $f (- \frac{9}{2}) + f (21) =$ .

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三、解答题

17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，点 $E$ 是 $P C$ 的中点.

(1)、求证： $P A / /$ 平而 $E D B$ ；

(2)、若 $P D = A D = 2$ ，求二而角 $C - E D - B$ 的余弦值.

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18. 我国已进入新时代中国特色社会主义时期，人民生活水平不断提高，某市随机统计了城区若干户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出增加量（记为 $P$ 元）的情况，并根据统计数据制成如下频率分布直方图.

(1)、根据频率分布直方图估算 $P$ 的平均值 $\overset{⇀}{P}$ ；

(2)、视样本中的频率为概率，现从该市所有住户中随机抽取 $3$ 次，每次抽取 $1$ 户，每次抽取相互独立，设 $ξ$ 为抽出 $3$ 户中 $P$ 值不低于 $65$ 元的户数，求 $ξ$ 的分布列和期望 $E (ξ)$ .

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $n a_{n + 1} - 2 (n + 1) a_{n} = n^{2} + n (n \in N^{*})$ .

(1)、求证：数列 ${\frac{a_{n}}{n} + 1}$ 为等比数列：

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，且以 $F_{1} (- c, 0)$ ， $F_{2} (c, 0)$ $(c > 0)$ 为焦点，椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求实数 $c$ 的值；

(2)、过左焦点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $B$ 、 $D$ 两点， $O$ 为坐标原点，问椭圆 $C$ 上是否存在点 $P$ ，使线段 $B D$ 和线段 $O P$ 相互平分?若存在，求出点 $P$ 的坐标，若不存在，说明理由。

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21. 已知 $f (x) = (x - m) e^{x}$ .

(1)、当 $m = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(- 1 ， 0)$ 上有极小值点，且总存在实数 $m$ ，使函数 $f (x)$ 的极小值与 $\frac{e^{2 m} + 2 a m}{2 (a + 1) e}$ 互为相反数，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为 $ρ = 1 - \sin θ$ （ $0 \leq θ < 2 π ， ρ > 0$ ），M为该曲线上的任意一点.

(1)、当 $| O M | = \frac{3}{2}$ 时，求M点的极坐标；

(2)、将射线OM绕原点O逆时针旋转 $\frac{π}{2}$ 与该曲线相交于点N，求 $| M N |$ 的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | + 2 | x - 1 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) > x + 5$ 的解集；

(2)、若 $| x_{1} - x_{2} | > 1$ ，求证： $f (x_{1} + x_{2}) + f (2 x_{2}) > 3$ .

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