四川省成都市蓉城名校联盟2019-2020学年高三上学期理数第一次联考试卷

试卷更新日期：2020-10-19 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 12 \leq 0}$ ， $B = {x | 2 x - 5 \geq 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[- 3, 4]$ B、 $[- 3, \frac{5}{2}]$ C、 $[\frac{5}{2}, 4]$ D、 $[- 3, + \infty)$

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2. 已知复数 $z = \frac{4 i}{1 + i}$ ，则 $z$ 对应的点在复平面内位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 命题“ $\forall x \geq 1$ ， $e^{x} - 2 x - 7 \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x_{0} < 1$ ， $e^{x_{0}} - 2 x_{0} - 7 < 0$ B、 $\exists x_{0} < 1$ ， $e^{x_{0}} - 2 x_{0} - 7 ⩾ 0$ C、 $\exists x_{0} \geq 1$ ， $e^{x_{0}} - 2 x_{0} - 7 > 0$ D、 $\exists x_{0} \geq 1$ ， $e^{x_{0}} - 2 x_{0} - 7 < 0$

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4. 下列函数中，任取函数定义域内 $x, y$ ，满足 $f (\frac{x}{y}) = f (x) - f (y)$ ，且在定义域内单调递减的函数是（）

A、 $f (x) = x^{- 3}$ B、 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ C、 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ D、 $f (x) = \frac{1}{e^{x}} - e^{x}$

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5. 若数列 ${a_{n}}$ 各项不相等的等差数列， $a_{1} = - 5$ ，且 $a_{3}$ ， $a_{4}$ ， $a_{8}$ 成等比数列，则 $S_{7} =$ （）

A、18 B、28 C、44 D、49

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6. 函数 $f (x) = sin 2 x + 2 \sqrt{3} {cos}^{2} x - 2$ 的一条对称轴是（）

A、 $x = \frac{π}{12}$ B、 $x = \frac{π}{6}$ C、 $x = \frac{π}{3}$ D、 $x = \frac{π}{2}$

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7. 在平面四边形 $A B C D$ 中，已知 $∠ A = \frac{π}{2}$ ， $∠ C D A = \frac{2 π}{3}$ ， $A D = 2$ ， $B D = 4$ ， $D C = 5$ ，则 $B C =$ （）

A、 $\sqrt{21}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{23}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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8. 函数 $y = \frac{\sin x}{\log_{2019} | 2^{x} - 2^{- x} |}$ 在区间 $[- 3 ， 0) \cup (0 ， 3]$ 上的图象为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 若 $\log_{3} x = \log_{4} y = \log_{7} z < - 2$ ，则（）

A、 $3 x < 4 y < 7 z$ B、 $7 z < 4 y < 3 x$ C、 $4 y < 3 x < 7 z$ D、 $7 z < 3 x < 4 y$

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10. 若函数 $f (x) = a x + \frac{1}{x} + 2 \ln x$ 在区间 $[\frac{1}{2}, 4]$ 上有2个极值点，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- 1, 0]$ B、 $[- \frac{3}{4}, 8]$ C、 $(- 1, - \frac{7}{16})$ D、 $(- 1, 8]$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3 + 4 \ln x ， x \geq 1 \\ x + 2 ， x < 1 \end{array}$ ，若 $m \neq n$ ，且 $f (m) + f (n) = 6$ ，则 $m + n$ 的取值范围为（）

A、 $[5 - 8 ln 2 ， + \infty)$ B、 $[7 - 4 ln3 ， + \infty)$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $[e ， + \infty)$

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12. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $(a - b) \cdot \sin A = c \sin C - b \sin B$ ，若 $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的周长的最小值为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $3 + 4 \sqrt{3}$ C、 $6 \sqrt{3}$ D、 $3 + 6 \sqrt{3}$

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二、填空题

13. “ $2 x + 3 \leq 0$ ”是“ $2 x - 6 \leq 0$ ”的条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）.

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14. 若非零向量 $a$ ， $b$ 满足 $〈 \overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b} 〉 = \frac{π}{6}$ ， $| \overset{⇀}{a} | = \sqrt{3}$ ， $| \overset{⇀}{a} + 2 \overset{⇀}{b} | = \sqrt{7}$ ，则 $| \overset{⇀}{b} | =$ .

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15. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = 3 S_{n} + 1$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $S_{5} =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = 2 a \ln x - 3 x$ ，且不等式 $f (x + 1) \geq 2 a x - 3 e^{x}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ,已知 $\tan A = 2$ ， $a = 2 \sqrt{5}$ ， $b = \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求角 $B$ 的大小:

(2)、求 $△ A B C$ 的面积 $S$ .

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18. 如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 2$ ，点 $E$ 是 $D C$ 的中点.将 $Δ A D E$ 沿 $A E$ 折起，使平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C E$ ，连结 $D B$ 、 $D C$ 、 $E B$ .

(1)、求证：平面 $A D E ⊥$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求平面 $A D E$ 与平面 $B D C$ 所成锐二面角的余弦值.

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19. 某社会机构为了调查对手机游戏的兴趣与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得如下 $2 \times 2$ 列联表：

(1)、根据列联表，能否有 $99.9 %$ 的把握认为对手机游戏的兴趣程度与年龄有关？

(2)、若已经从40岁以上的被调查者中用分层抽样的方式抽取了10名，现从这10名被调查者中随机选取3名，记这3名被选出的被调查者中对手机游戏很有兴趣的人数为 $x$ ，求 $x$ 的分布列及数学期望.
附： $k^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

参考数据：

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20. 已知定点 $F (1, 0)$ ，定直线 $l$ 的方程为 $x = - 1$ ，点 $P$ 是 $l$ 上的动点，过点 $P$ 与直线 $l$ 垂直的直线与线段 $P F$ 的中垂线相交于点 $Q$ ，设点 $Q$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程:

(2)、点 $A (a, 0) (a > 0)$ ，点 $B (- a, 0)$ ，过点 $A$ 作直线 $l_{1}$ 与曲线 $C$ 相交于 $G$ 、 $E$ 两点，求证： $∠ G B A = ∠ E B A$ .

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a \ln x + a (a \in R)$ ， $g (x) = f (x) - (a + 1) e^{x} - a$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的零点的个数；

(2)、当函数 $f (x)$ 有两个零点时，证明： $g (x) > 2 e$ .

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 4 \cos θ \\ y = 3 \sin θ \end{array}$ ( $θ$ 为参数)，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ \cos (θ + \frac{π}{4}) = 4 \sqrt{2}$ .

(1)、求 $C_{1}$ 的普通方程和 $C_{2}$ 的直角坐标方程;

(2)、若点 $M$ 、 $N$ 分别是 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 上的动点，求 $| M N |$ 的最小值.

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23. 设函数 $f (x) = | x + a | + | x + 3 | - 6$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) \leq 0$ 的解集；

(2)、若 $f (x) \geq 2$ 在R上恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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