四川省成都市2019-2020学年高三上学期理数第一次诊断性检测试卷

试卷更新日期：2020-10-19 类型：开学考试

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一、单选题

1. 若复数 $z_{1}$ 与 $z_{2} = - 3 - i$ （ $i$ 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则 $z_{1} =$ （）

A、 $- 3 - i$ B、 $- 3 + i$ C、 $3 + i$ D、 $3 - i$

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2. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， m}$ ， $B = {1 ， 2}$ ，若 $A \cup B = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、-1或0 B、0或1 C、-1或2 D、1或2

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3. 若 $\sin θ = \sqrt{5} \cos (2 π - θ)$ ，则 $\tan 2 θ =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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4. 某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类"的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，则这100名同学的得分的中位数为（）

A、72.5 B、75 C、77.5 D、80

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5. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n} \neq 0$ ，若 $a_{5} = 3 a_{3}$ ，则 $\frac{S_{9}}{S_{5}} =$ （）

A、 $\frac{9}{5}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{27}{5}$

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6. 已知 $α ， β$ 是空间中两个不同的平面， $m ， n$ 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / β$ ，且 $α / / β$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / α$ ， $n / / β$ ，且 $α ⊥ β$ ，则 $m / / n$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n / / β$ ，且 $α / / β$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n / / β$ ，且 $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$

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7. $(x^{2} + 2) {(x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式的常数项为（）

A、25 B、-25 C、5 D、-5

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8. 将函数 $y = \sin (4 x - \frac{π}{6})$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $f (x)$ 的图象，则函数 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ B、 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ C、 $f (x) = \sin (8 x + \frac{π}{6})$ D、 $f (x) = \sin (8 x - \frac{π}{3})$

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9. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ， $M ， N$ 是抛物线上两个不同的点若 $| M F | + | N F | = 5$ ，则线段 $M N$ 的中点到 $y$ 轴的距离为（）

A、3 B、 $\frac{3}{2}$ C、5 D、 $\frac{5}{2}$

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10. 已知 $a = 2^{\frac{1}{2}}$ ， $b = 3^{\frac{1}{3}}$ ， $c = \ln \frac{3}{2}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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11. 已知定义在 $R$ 上的数 $f (x)$ 满足 $b_{n + 1} - b_{n} = 2^{n - 1}$ ，当 $x \leq 2$ 时 $f (x) = (x - 1) e^{x} - 1$ .若关于 $x$ 的方程 $f (x) - k x + 2 k - e + 1 = 0$ 有三个不相等的实数根，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2 ， 0) \cup (2 ， + \infty)$ B、 $(- 2 ， 0) \cup (0 ， 2)$ C、 $(- e ， 0) \cup (e ， + \infty)$ D、 $(- e ， 0) \cup (0 ， e)$

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12. 如图，在边长为 $2$ 的正方形 $A P_{1} P_{2} P_{3}$ 中，线段BC的端点 $B ， C$ 分别在边 $P_{1} P_{2}$ 、 $P_{2} P_{3}$ 上滑动，且 $P_{2} B = P_{2} C = x$ ，现将 $Δ A P_{1} B$ ， $Δ A P_{3} C$ 分别沿AB，AC折起使点 $P_{1} ， P_{3}$ 重合，重合后记为点 $P$ ，得到三被锥 $P - A B C$ .现有以下结论：

① $A P ⊥$ 平面 $P B C$ ；②当 $B ， C$ 分别为 $P_{1} P_{2}$ 、 $P_{2} P_{3}$ 的中点时，三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为 $6 π$ ；③ $x$ 的取值范围为 $(0 ， 4 - 2 \sqrt{2})$ ；④三棱锥 $P - A B C$ 体积的最大值为 $\frac{1}{3}$ .则正确的结论的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 已知实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 4 \leq 0 \\ x - 2 y + 2 \geq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最大值为.

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14. 设正项等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{4} = 81$ ， $a_{2} + a_{3} = 36$ ，则 $a_{n} =$ .

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15. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，若 $\vec{b} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为.

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16. 已知直线 $y = k x$ 与双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 相交于不同的两点 $A ， B$ ， $F$ 为双曲线 $C$ 的左焦点，且满足 $| A F | = 3 | B F |$ ， $| O A | = b$ （ $O$ 为坐标原点），则双曲线 $C$ 的离心率为.

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = \frac{4 \sqrt{2}}{3} b c$ .

(1)、求 $\sin A$ 的值；

(2)、若 $Δ A B C$ 的面积为 $\sqrt{2}$ ，且 $\sqrt{2} \sin B = 3 \sin C$ ，求 $Δ A B C$ 的周长.

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18. 某公司有1000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族"，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”，调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人.

附 $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、完成下列

2 \times 2

列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族"与“性别"有关；

	属于“追光族"	属于“观望者"	合计
女性员工
男性员工
合计			100

(2)、已知被抽取的这100名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”.现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求

X

的分布列及数学期望.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A P ⊥$ 平面 $P B C$ ，底面 $A B C D$ 为菱形，且 $∠ A B C = 60^{°}$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点.

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P A E$ ；

(2)、若 $A B = 2$ ， $P A = 1$ ，求平面 $A B P$ 与平面 $C D P$ 所成锐二面角的余弦值.

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20. 已知函数 $f (x) = (a - 1) \ln x + x + \frac{a}{x}$ ， $a \in R .$

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a < - 1$ 时，证明： $\forall x \in (1 ， + \infty)$ ， $f (x) > - a - a^{2} .$

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21. 已知椭圆 $C$ : $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线（不与 $x$ 轴重合）与椭圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，直线 $l$ ： $x = 2$ 与 $x$ 轴相交于点 $H$ ，过点 $A$ 作 $A D ⊥ l$ ，垂足为D．

(1)、求四边形 $O A H B$ （ $O$ 为坐标原点）面积的取值范围；

(2)、证明直线 $B D$ 过定点 $E$ ，并求出点 $E$ 的坐标.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $P$ 是曲线 $C_{1}$ ： $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 上的动点，将 $O P$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90^{°}$ 得到 $O Q$ ，设点 $Q$ 的轨迹为曲线 $C_{2}$ .以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、在极坐标系中，点 $M (3 ， \frac{π}{2})$ ，射线 $θ = \frac{π}{6} (ρ \geq 0)$ 与曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 分别相交于异于极点 $O$ 的 $A ， B$ 两点，求 $Δ M A B$ 的面积.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 3 | .$

(1)、解不等式 $f (x) \geq 4 - | 2 x + 1 |$ ；

(2)、若 $\frac{1}{m} + \frac{4}{n} = 2 (m > 0 ， n > 0)$ ，求证： $m + n \geq | x + \frac{3}{2} | - f (x) .$

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