湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体2019-2020高三上学期理数9月月考试卷

试卷更新日期：2020-10-19 类型：月考试卷

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一、单选题

1. i是虚数单位， $z (2 - i) = 5 i$ ， $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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2. 全集 $U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ,集合 $A = {0, 1, 2, 5}$ ，则 $C_{U} A =$ （）

A、 ${2, 3, 4, 5, 6}$ B、 ${3, 4, 5, 6}$ C、 ${3, 4, 6}$ D、 ${3, 4, 5}$

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3. 命题“矩形的对角线相等”的否定及真假，描述正确的是（）

A、矩形的对角线都不相等，真 B、矩形的对角线都不相等，假 C、矩形的对角线不都相等，真 D、矩形的对角线不都相等，假

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4. 如果 $x ， y$ 是实数，那么“ $x \neq y$ ”是“ $c o s x \neq c o s y$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 小吴一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（）

A、1% B、2% C、3% D、5%

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6. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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7. 设曲线 $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ 在点 $(3 ， 2)$ 处的切线与直线 $a x + y + 1 = 0$ 垂直，则 $a =$ （）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、-2

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8. 定义在R上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (1 + x) = f (1 - x)$ ，若 $f (1) = 1$ ，则 $f (2020)$ 的值是（）

A、0 B、1 C、505 D、2020

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9. 函数 $f (x) = x^{2} + x - (x + 1) \sin x$ 的零点的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 函数 $f (x) = x^{3} - 3 x$ 在区间 $(- 2 ， m)$ 上有最大值，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $（ - 1 ， + \infty)$ B、 $（ - 1 ， 1]$ C、 $（ - 1 ， 2)$ D、 $（ - 1 ， 2]$

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11. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，且满足 $f^{'} (x) + f (x) > 0$ ，其中 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导数，设 $a = f (0)$ ， $b = 2 f (l n 2)$ ， $c = e f (1)$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系是 $($ $)$

A、 $c > b > a$ B、 $a > b > c$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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12. 若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（　　）

A、3 B、2 $\sqrt{2}$ C、2 $\sqrt{3}$ D、3 $\sqrt{3}$

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二、填空题

13. 计算： ${(\lg \frac{1}{125} - \lg 8)}^{2} \div 4^{- \frac{1}{2}} + \log_{2} 3 \cdot \log_{3} 4 =$ .

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14. 幂函数 $y = (m^{2} - 2 m - 2) x^{m^{2} - 2}$ 在 $(0, + \infty)$ 上增函数，则 $m =$ .

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15. 函数 $f (x) = - \cos^{2} x - 2 a \sin x + 2$ 的最大值为3，则 $a =$ .

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16. 在一段线路中有4个自动控制的常用开关A、B、C、D，如图连接在一起，假定在2019年9月份开关A，D能够闭合的概率都是0.7，开关B，C能够闭合的概率都是0.8，则在9月份这段线路能正常工作的概率为.

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三、解答题

17. 设函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的定义域是 $x \in R$ 且 $x \neq \pm 1$ , $f (x)$ 是偶函数, $g (x)$ 是奇函数,且 $f (x) + g (x) = \frac{1}{x - 1}$ .

(1)、求 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的解析式；

(2)、求 $g (\frac{1}{4}) + g (\frac{1}{3}) + g (\frac{1}{2}) + g (2) + g (3) + g (4)$ 的值.

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18. 如图直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，截面 $A B_{1} C_{1} ⊥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ .

(1)、求证： $A_{1} B_{1} ⊥ B_{1} C_{1}$ ；

(2)、记二面角 $A - B_{1} C_{1} - A_{1}$ 的大小为 $α$ ，直线 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 所成的角为 $β$ ，试比较 $α$ 与 $β$ 的大小.

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19. 如图所示，抛物线关于 $x$ 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 $P (1 ， 2)$ ， $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 均在抛物线上．

(1)、写出该抛物线的方程及其准线方程；

(2)、当 $P A$ 与 $P B$ 的斜率存在且倾斜角互补时，求 $y_{1} + y_{2}$ 的值及直线 $A B$ 的斜率．

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20. 2018年12月18日上午10时，在人民大会堂举行了庆祝改革开放40周年大会.40年众志成城，40年砥砺奋进，40年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗．会后，央视媒体平台，收到了来自全国各地的纪念改革开放40年变化的老照片，并从众多照片中抽取了100张照片参加“改革开放40年图片展”，其作者年龄集中在 $[25 ， 85]$ 之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如下：

（Ⅰ）求这100位作者年龄的样本平均数 $\bar{x}$ 和样本方差 $s^{2}$ （同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，作者年龄X服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为样本平

均数 $\bar{x}$ ， $σ^{2}$ 近似为样本方差 $s^{2}$ ．

（i）利用该正态分布，求 $P (60 < X < 73.4)$ ；

（ii）央视媒体平台从年龄在 $[45 ， 55]$ 和 $[65 ， 75]$ 的作者中，按照分层抽样的方法，抽出了7人参加“纪念改革开放40年图片展”表彰大会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间 $[45 ， 55]$ 的人数是Y，求变量Y的分布列和数学期望．附： $\sqrt{180} \approx 13.4$ ，若 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.683$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.954$

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x - a}$ （其中常数 $a < 0$ ）.

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域及单调区间；

(2)、若存在实数 $x \in (a ， 0]$ ，使得不等式 $f (x) \leq \frac{1}{2}$ 成立，求a的取值范围.

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22. 已知直线 $l$ 的极坐标方程是 $ρ \sin (θ - \frac{π}{3}) = 0$ ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 $x$ 轴的正半轴，建立平面直角坐标系,曲线C的参数方程是 ${\begin{array}{l} x = 2 \cos α \\ y = 2 + 2 \sin α \end{array}$ ,（ $α$ 为参数）.

(1)、求直线 $l$ 被曲线C截得的弦长；

(2)、从极点作曲线C的弦,求各弦中点轨迹的极坐标方程.

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23. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $c > 0$ .若函数 $f (x) = | x + a | + | x - b | + c$ 的最小值为2.

(1)、求 $a + b + c$ 的值；

(2)、证明： $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} \geq \frac{9}{4}$ .

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