人教新课标A版必修一 2.3 幂函数

试卷更新日期：2020-10-19 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知幂函数 $f (x) = x^{a} (a \in R)$ 的图象过点 $(16, 2)$ ，若 $f (m) = 3$ ,则实数 $m$ 的值为（）

A、9 B、12 C、27 D、81

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2. 若函数f(x)是幂函数，且满足 $\frac{f (4)}{f (2)} = 3$ ，则 $f (\frac{1}{2})$ 的值为（）

A、－3 B、 $- \frac{1}{3}$ C、3 D、 $\frac{1}{3}$

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3. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m - 3) x^{2 m - 3}$ 在 $(0, + \infty)$ 上为增函数，则 $m$ 值为（）

A、4 B、3 C、-1 D、-1或4

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4. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则 $\log_{4} f (2)$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- 2$ D、 $2$

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5. 已知幂函数 $f (x) = x^{m - 2} (m \in N)$ 的图象关于原点对称，且在 $(0, + \infty)$ 上是减函数，若 ${(a + 1)}^{- \frac{m}{2}} < {(3 - 2 a)}^{- \frac{m}{2}}$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1, 3)$ B、 $(\frac{2}{3}, \frac{3}{2})$ C、 $(- 1, \frac{3}{2})$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (\frac{2}{3}, \frac{3}{2})$

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6. 下列函数为幂函数的是（）

A、 $y = x^{2}$ B、 $y = - x^{2}$ C、 $y = 2^{x}$ D、 $y = 2 x^{2}$

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7. 幂函数f（x）=k· $x^{α}$ 的图象过点 $(\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则k+ $α$ =（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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8. 已知幂函数 $y = x^{n}$ 在第一象限内的图象如图所示．若 $n \in {2 ， - 2 ， \frac{1}{2} ， - \frac{1}{2}}$ 则与曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ， $C_{3}$ ， $C_{4}$ 对应的n的值依次为（）

A、 $- \frac{1}{2} ， - 2 ， 2 ， \frac{1}{2}$ B、 $2 ， \frac{1}{2} ， - 2 ， - \frac{1}{2}$ C、 $2 ， \frac{1}{2} ， - \frac{1}{2} ， - 2$ D、 $- \frac{1}{2} ， - 2 ， \frac{1}{2} ， 2$

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9. 下列命题中：
①幂函数的图象都经过点（1，1）和点（0，0）；②幂函数的图象不可能在第四象限；③当n=0时，幂函数y=xⁿ的图象是一条直线；④当n＞0时，幂函数y=xⁿ是增函数；⑤当n＜0时，幂函数在第一象限内的函数值随x的值增大而减小。其中正确的是（）

A、①和④ B、④和⑤ C、②和③ D、②和⑤

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10. 如图所示，曲线C₁与C₂分别是函数y＝x^m和y＝xⁿ在第一象限内的图象，则下列结论正确的是（）

A、n<m<0 B、m<n<0 C、n>m>0 D、m>n>0

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二、填空题

11. 已知 $α \in {- 2 ， - 1 ， - \frac{1}{2} ， \frac{1}{2} ， 1 ， 2 ， 3}$ ，若幂函数 $f (x) = x^{α}$ 为偶函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上递减，则 $α =$ .

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12. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(4, 2)$ ，则函数 $f (x) =$ ，若 $f (2 - a) > f (a - 1)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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13. 已知幂函数 $f (x) = (2 m - 1) x^{- 2 n^{2} + n + 3} (n \in Z)$ 为偶函数，且满足 $f (3) < f (5)$ ，则 $m + n =$ .

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14. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(3 ， \sqrt{3})$ ，函数 $g (x) = {\begin{array}{l} f (x) ， x \geq 0 \\ 2^{x + 1} + 3 ， x < 0 \end{array}$ ，则 $g (g (- 1)) =$ .

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三、解答题

15. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象经过点 $(2, \sqrt{2})$ .

(1)、求 $f (x)$ 解析式

(2)、根据单调性定义，证明 $f (x)$ 在区间 $[0, + \infty)$ 上单调递增.

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16. 已知幂函数 $f (x) = x^{- 2 m^{2} + m + 3} (m \in Z)$ 为偶函数,且在 $(0, + \infty)$ 上是增函数．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、 $g (x) = \log_{a} [f (x) - a x] (a > 0, a \neq 1)$ 在区间 $(2, 3)$ 上为增函数，求实数 $a$ 的取值范围.

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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