人教A版（2019）必修一第二章一元二次函数、方程和不等式

试卷更新日期：2020-10-17 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 已知正数x，y满足： $\frac{1}{x} + \frac{3}{y + 2} = 1$ ，则x＋y的最小值为（）

A、 $2 + \sqrt{3}$ B、 $2 + 2 \sqrt{3}$ C、6 D、 $6 + 2 \sqrt{3}$

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2. 两个正实数 $a ， b$ 满足 $3 a + b = 1$ ，则满足 $\frac{1}{a} + \frac{3}{b} \geq m^{2} - m$ ，恒成立的m取值范围（）

A、 $[- 4 ， 3]$ B、 $[- 3 ， 4]$ C、 $[- 2 ， 6]$ D、 $[- 6 ， 2]$

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3. 若 $P = \sqrt{a} + \sqrt{a + 7}$ ， $Q = \sqrt{a + 3} + \sqrt{a + 4}$ $(a \geq 0)$ ，则 $P, Q$ 的大小关系是（）

A、 $P < Q$ B、 $P = Q$ C、 $P > Q$ D、 $P, Q$ 的大小由 $a$ 的取值确定

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4. 若 $a > 0 > b$ ，则下列不等式中恒成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $a^{2} < b^{2}$

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5. 不等式 $3 x^{2} + 2 x - 1 \leq 0$ 的解集是（）

A、 $[- 1, \frac{1}{3}]$ B、 $(- \infty, - 1] \cup [\frac{1}{3}, + \infty)$ C、 $[- \frac{1}{3}, 1]$ D、 $(- \infty, - \frac{1}{3}] \cup [1, + \infty)$

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6. 已知关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - 4 a x + 3 a^{2} < 0 (a < 0)$ 的解集为 ${x | x_{1} < x < x_{2}}$ ，若函数 $y = x_{1} + \frac{a}{x_{1} x_{2}}$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数有最小值2 B、函数有最小值 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、函数有最大值-2 D、函数有最大值 $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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7. 定义在R上的运算： $x * y = x (1 - y)$ .若不等式 $(x - a) * (x + a) < 1$ 对任意实数x都成立，则（）

A、 $- \frac{3}{2} < a < \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2} < a < \frac{3}{2}$ C、 $- 1 < a < 1$ D、 $0 < a < 2$

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8. 若不等式 $m x^{2} + 2 m x - 2 < 0$ 对一切实数 $x$ 都成立，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2, 0)$ B、 $(- 2, 0]$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $(- \infty, 0]$

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二、多选题

9. 设 $[x]$ 表示不小于实数x的最小整数，则满足关于x的不等式 ${[x]}^{2} + [x] - 12 \leq 0$ 的解可以为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、3 C、-4.5 D、-5

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10. 下列关于基本不等式的说法，正确的是（）

A、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}$ 成立 B、对任意的 $a$ ， $b \in R$ ， $a b \leq {(\frac{a + b}{2})}^{2}$ 成立 C、若 $a \geq 0$ ， $b \geq 0$ ，则 $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}$ 不一定成立 D、若 $a b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{2}{\sqrt{a b}}$ 成立 E、若 $a b > 0$ ，则 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ 成立

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三、填空题

11. 定义运算“ $\otimes$ ”： $x \otimes y = \frac{x^{2} - y^{2}}{x y} (x ， y \in R ， X Y \neq 0)$ .当 $x > 0 ， y > 0$ 时， $x \otimes y + (2 y) \otimes x$ 的最小值是 .

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12. 若不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集是 $(- 1, 2)$ ，则不等式 $b x^{2} - a x - c > 0$ 的解集为．

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13. 若不等式 $x^{2} - a x + 1 \geq 0$ 对于一切 $x \in (0, + \infty)$ 恒成立，则a的最大值为.

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14. 已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{x - 3} (x > 3)$ ，则函数 $f (x)$ 的最小值为.

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15. 已知集合 $A = {x | x = 2 k - 1 ， k \in N^{*}} ， B = {x | x = 8 k - 8 ， k \in N^{*}}$ ，从集合A中取出m个不同元素，其和记为S；从集合 $B$ 中取出 $n$ 个不同元素，其和记为T．若 $S + T \leq 967$ ，则 $m + 2 n$ 的最大值为．

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四、解答题

16. 设函数 $f (x) = a x^{2} + (b - 2) x + 3 (a \neq 0$ ，

(1)、若不等式 $f (x) > 0$ 的解集 $(- 1 ， 3)$ ．求 $a ， b$ 的值；

(2)、若 $f (1) = 2 ， a > 0 ， b > 0$ 求 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值.

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17. 围建一个面积为360m²的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），(1)将y表示为x的函数(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用

(1)、将y表示为x的函数：

(2)、试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

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18. 解关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 2 \geq 2 x - a x (a \in R)$ .

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人教A版（2019） 必修一 第二章 一元二次函数、方程和不等式

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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