湖北省武汉市2019-2020学年高三上学期理数11月综合测试试卷(二)

试卷更新日期：2020-10-16 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知 $z = \frac{1 - 3 i}{1 + i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、3

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2. 已知集合 $A = {(x, y) | x^{2} + y^{2} = 1, x, y \in R}$ ， $B = {(x, y) | y = x - 1, x \in R}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0, 1}$ B、 ${(0, - 1)}$ C、 ${(1, 0)}$ D、 ${(0, - 1), (1, 0)}$

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3. 各项为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{3} = 2$ ，则 $\log_{2} a_{1} + \log_{2} a_{2} + \cdot \cdot \cdot + \log_{2} a_{5} =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4. 中国古代数学成就甚大，在世界科技史上占有重要的地位.“算经十书”是汉、唐千余年间陆续出现的10部数学著作，包括《周髀算经》、《九章算术》、……、《缀术》等，它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书.某中学图书馆全部收藏了这10部著作，其中4部是古汉语本，6部是现代译本，若某学生要从中选择2部作为课外读物，至少有一部是现代译本的概率是（）

A、 $\frac{13}{15}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{8}{15}$ D、 $\frac{1}{3}$

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5. 已知平面向量 $\overset{⇀}{a} = (\sqrt{3}, 1)$ ， $\overset{⇀}{b} = (- 1, - \sqrt{3})$ ，则 $\overset{⇀}{a}$ 、 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角 $θ =$ （）

A、150° B、120° C、60° D、30°

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} + 1, x \leq 0 \\ 2 x + \log_{3} a, x > 0 \end{array}$ ，若 $f (f (- 1)) = 5$ ，则 $a =$ （）

A、3 B、9 C、27 D、81

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7. “ $α = \frac{π}{4} + k π ， (k \in Z)$ ”是“ $\tan (2 α - \frac{π}{6}) = \sqrt{3}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 下列命题：
①若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变；②在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；③设随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (0, 1)$ ，若 $P (ξ > 2) = p$ ，则 $P (- 2 < ξ < 0) = \frac{1}{2} - p$ ；④对分类变量 $X$ 与 $Y$ 的随机变量 $K^{2}$ 的观测值 $k$ 来说， $k$ 越小，判断“ $X$ 与 $Y$ 有关系”的把握越大.其中正确的命题序号是（）

A、①② B、①②③ C、①③④ D、②③④

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9. 函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{e^{x} - 1}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 在空间四边形 $A B C D$ 各边 $A B$ 、 $B C$ 、 $C D$ 、 $D A$ 上分别取点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ ，若直线 $E F$ 、 $G H$ 相交于点 $P$ ，则（）

A、点 $P$ 必在直线 $A C$ 上 B、点 $P$ 必在直线 $B D$ 上 C、点 $P$ 必在平面 $A B D$ 内 D、点 $P$ 必在平面 $B C D$ 内

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11. 设函数 $f (x) = 2 x - \sin x$ ，等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $\frac{π}{2018}$ ，若 $f (a_{1}) + f (a_{2019}) = 2020$ ，则 ${a_{n}}$ 的前2019项的和 $S_{2019} =$ （）

A、 $2018 \times 2019$ B、 $1004 \times 2019$ C、 $1010 \times 2019$ D、 $505 \times 2019$

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12. 过双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 左焦点 $F$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与双曲线交于 $M$ 、 $N$ 两点，以 $M N$ 为直径的圆与 $C$ 的渐近线相切，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{5} - 1$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$

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二、填空题

13. 曲线 $y = (x + 2) e^{x}$ 在点 $(0, 2)$ 处的切线方程为.

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14. ${(\frac{1}{x^{2}} - 2 x)}^{6}$ 的展开式中的常数项为。

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15. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 16 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ， $P$ 是 $l$ 上一点， $Q$ 是直线 $P F$ 与 $C$ 的一个交点，若 $\overset{⇀}{F P} = 4 \overset{⇀}{F Q}$ ，则 $| F Q | =$ .

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16. 如图，圆形纸片的圆心为 $O$ ，半径为 $4 c m$ ，该纸片上的正方形 $A B C D$ 的中心为 $O$ ， $P_{1}$ 、 $P_{2}$ 、 $P_{3}$ 、 $P_{4}$ 为圆 $O$ 上点， $Δ P_{1} A B$ ， $Δ P_{2} B C$ ， $Δ P_{3} C D$ ， $Δ P_{4} D A$ 分别是以 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D A$ 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D A$ 为折痕折起 $Δ P_{1} A B$ ， $Δ P_{2} B C$ ， $Δ P_{3} C D$ ， $Δ P_{4} D A$ ，使得 $P_{1}$ 、 $P_{2}$ 、 $P_{3}$ 、 $P_{4}$ 重合，得到四棱锥.当该四棱锥体积取得最大值时，正方形 $A B C D$ 的边长为 $c m$ .

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三、解答题

17. 已知 $Δ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a \sin \frac{A + C}{2} = b \sin (B + C)$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $a = 3$ ， $b + c = 6$ ，求 $Δ A B C$ 的内切圆半径.

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18. 已知四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的所有棱长都为2，且 $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ B A D = 60 °$ .

(1)、证明：平面 $A_{1} A C ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ ；

(2)、求直线 $B C_{1}$ 与平面 $A_{1} A C$ 所成的角 $θ$ 的正弦值.

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19. 为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某公司举行大型抽奖活动，活动中准备了一枚质地均匀的正十二面体的骰子，在其十二个面上分别标有数字1，2，3，…，12，每位员工均有一次参与机会，并规定：若第一次抛得向上面的点数为完全平方数（即能写成整数的平方形式，如 $4 = 2^{2}$ ），则立即视为获得大奖；若第一次抛得向上面的点数不是完全平方数，则需进行第二次抛掷，两次抛得的点数和为完全平方数（如 $2 + 2 = 2^{2}$ ），也可视为获得大奖.否则，只能获得安慰奖.

(1)、试列举须抛掷两次才能获得大奖的所有可能情况（用 $(x, y)$ 表示前后两次抛得的点数），并说明所有可能情况的总数；

(2)、若获得大奖的奖金（单位：元）为抛得的点数或点数和（完全平方数）的360倍，而安慰奖的奖金为48元，该公司某位员工获得的奖金为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列及数学期望.

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} - m \cdot \ln (x + 1)$ ， $m \in R$ .

(1)、设 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极值点，求 $m$ ，并讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $m = 4$ ，证明 $f (x)$ 有且仅有两个不同的零点.（参考数据： $e^{e} \approx 15.15$ ）

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21. 在直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率是 $\frac{1}{2}$ ，斜率不为0的直线 $l$ ： $y = k x + m (m \neq 0)$ 与 $C$ 相交于 $P$ 、 $Q$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $M$ .

(1)、若 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是 $C$ 的左、右焦点，当 $l$ 经过 $F_{1}$ 且 $P F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}$ 时，求 $k$ 的值；

(2)、试探究，是否存在点 $N (0, n) (n \neq m)$ ，使得 $∠ P N M = ∠ Q N M$ ？若存在，请写出满足条件的 $m$ 、 $n$ 的关系式；若不存在，说明理由.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = a (1 + \cos θ) \\ y = a \sin θ \end{array}$ （ $a > 0$ ， $θ$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = \frac{2}{1 - \cos θ}$ .

(1)、求 $C_{1}$ 的普通方程与 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、若 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 有且仅有四个公共点，求 $a$ 的取值范围.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 5 | + | x - 3 |$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值 $m$ ；

(2)、若正实数 $a$ ， $b$ 满足 $a^{2} + \frac{b^{2}}{4} = m$ ，证明： $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} \geq 2$ .

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