湖北省武汉市49中等部分重点中学2019-2020学年高三上学期数学10月月考试卷

试卷更新日期：2020-10-16 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ， $A = {x | - 1 < x < 1}$ ， $B = {y | y > 0}$ ，则 $A \cap (C_{R} B) =$ （）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(- 1 ， 0]$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $[0 ， 1)$

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2. 在复平面内，复数 $z = \frac{2 i}{1 - i}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 下列关于命题的说法错误的是（）

A、命题“若 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ，则 $x = 1$ ”的逆否命题为“若 $x \neq 1$ ，则 $x^{2} - 3 x + 2 \neq 0$ ” B、“ $a = 2$ ”是“函数 $f (x) = {log}_{a} x$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上为增函数”的充分不必要条件 C、若命题 $p$ ： $\exists n \in N$ ， $2^{n} > 1000$ ，则 $^{\neg} p : \forall n \in N$ ， $2^{n} \leq 1000$ D、命题“ $\exists x \in (- \infty, 0)$ ， $2^{x} < 3^{x}$ ”是真命题

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4. 已知 $a = {1.1}^{0.2}$ ， $b = \log_{0.2} 1.1$ ， $c = {0.2}^{1.1}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $a > c > b$ D、 $c > a > b$

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5. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $4 a_{3} = 3 a_{2}$ ，则 ${a_{n}}$ 中一定为0的项是（）

A、 $a_{6}$ B、 $a_{8}$ C、 $a_{10}$ D、 $a_{12}$

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6. 已知 $sin (\frac{π}{4} - 2 x) = \frac{3}{5}$ ，sin4x的值为（）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $\pm \frac{7}{25}$ C、1 D、2

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7. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当 $x < 0$ 时，f(x)= $\log_{2} (- x) + m$ ， f（ $\frac{1}{2}$ ）= $\sqrt{2}$ ，则实数 m=（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $- \sqrt{2} + 1$

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8. 函数 $f (x) = \sin (2 x + φ)$ ， $φ \in (0, π)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位得到函数 $g (x)$ 的图象，已知 $g (x)$ 是偶函数，则 $\tan (φ - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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9. 如图， $E$ 、 $F$ 分别是三棱锥 $P - A B C$ 的棱 $A P$ 、 $B C$ 的中点， $P C = 10$ ， $A B = 6$ ， $E F = 7$ ，则异面直线 $A B$ 与 $P C$ 所成的角为（）

A、30° B、60° C、0° D、120°

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10. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（）

A、 $7 π$ B、 $8 π$ C、 $9 π$ D、 $10 π$

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11. 关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 $π$ 的值：先请 $120$ 名同学每人随机写下一个都小于 $1$ 的正实数对 $(x ， y)$ ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对 $(x ， y)$ 的个数 $m$ ，最后再根据统计数 $m$ 估计 $π$ 的值，假如统计结果是 $m = 34$ ，那么可以估计 $π$ 的值约为（）

A、 $\frac{94}{29}$ B、 $\frac{47}{15}$ C、 $\frac{51}{16}$ D、 $\frac{53}{17}$

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12. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 8 x$ 的交点为 $F$ ，准线为 $l$ ， $P$ 是 $l$ 上一点，直线 $P F$ 与曲线 $C$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点，若 $\overset{⇀}{P F} = 3 \overset{⇀}{M F}$ ，则 $| M N | =$ （）

A、 $\frac{21}{2}$ B、 $\frac{32}{3}$ C、10 D、11

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 3$ ，两向量的夹角为60°，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ ．

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14. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x + y \leq 3 \\ x - y \leq 0 \\ x + 2 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x - 2 y$ 的最大值为．

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15. 已知直线 $l$ ： $m x + y + 3 m + \sqrt{3} = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 12$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $A B = 2 \sqrt{3}$ ，则实数 $m$ 的值为．

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16. 已知曲线 $y = x + \ln x$ 在点 $(1 ， 1)$ 处的切线与曲线 $y = x^{3} + a x - 1$ 相切，则实数 $a =$ ．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{6}) + 2 \sin^{2} x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递减区间；

(2)、在 $Δ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别是角 $A ， B ， C$ 的对边，若 $f (\frac{A}{2}) = \frac{3}{2}$ ， $b + c = 7$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求边 $a$ 的长.

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18. 若数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} + n$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ，且 $T_{n} = 2^{n} + m$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式

(2)、求数列 ${a_{n} \cdot b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $Q_{n}$ .

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19. 如图，在四边形 $A B D E$ 中， $A B / / D E$ ， $A B ⊥ B E$ ，点 $C$ 在 $A B$ 上，且 $A B ⊥ C D$ ， $A C = B C = C D = 2$ ，现将 $△ A C D$ 沿 $C D$ 折起，使点 $A$ 到达点 $P$ 的位置，且 $P E$ $= 2 \sqrt{2}$ .

(1)、求证：平面 $P B C$ $⊥$ 平面 $D E B C$ ；

(2)、求三棱锥 $P - E B C$ 的体积.

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20. 近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“3+3”模式初露端倪，其中语、数、外三门课为必考科目，剩下三门为选考科目选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分，假定 $A$ 省规定：选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占总体15%、35%、35%、15%分别赋分70分、60分、50分、40分，为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法， $A$ 省某高中高一（1）班（共40人）举行了以此摸底考试（选考科目全考，单料全班排名），知这次摸底考试中的物理成绩（满分100分）频率分布直方图，化学成绩（满分100分）茎叶图如图所示，小明同学在这次考试中物理82分，化学70多分．

(1)、采用赋分制后，求小明物理成绩的最后得分；

(2)、若小明的化学成绩最后得分为60分，求小明的原始成绩的可能值；

(3)、若小明必选物理，其他两科从化学、生物、历史、地理、政治五科中任选，求小明此次考试选考科目包括化学的概率．

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $M$ 是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点，且 $Δ M F_{1} F_{2}$ 的周长为 $4 + 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $l$ 是圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = \frac{4}{3}$ 上动点 $P (x_{0} ， y_{0}) (x_{0} \cdot y_{0} \neq 0)$ 处的切线， $l$ 与椭圆 $C$ 交与不同的两点 $Q$ ， $R$ ，证明： $∠ Q O R$ 的大小为定值．

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - x + \ln x (a > 0)$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与直线 $x + 2 y = 0$ 垂直，求 $a$ 的值及函数 $g (x) = f (x) - 2 \ln x$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 的极大值和极小值分别为 $m$ ， $n$ ，证明： $m + n < 2 \ln 2 - 3$ ．

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