湖北省黄冈市2019-2020学年高三上学期数学11月月考试卷

试卷更新日期：2020-10-16 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | 1 \leq \log_{2} x \leq 3}$ ， $B = {x | x^{2} - 3 x - 4 < 0}$ ，则 $A \cup B$ 等于（）

A、 $(- 1, 2)$ B、 $(- 1, 8]$ C、 $[2, 4)$ D、 $[4, 8]$

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2. 复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = \frac{2 + 5 i}{i}$ ，则复数 $z$ 的共轭复数的虚部为（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、 $- \frac{7}{2} i$ C、 $- \frac{7}{2}$ D、 $\frac{7}{2} i$

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3. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1, 2)$ ， $\overset{⇀}{b} = (m, 3)$ ，若 $\overset{⇀}{a} ⊥ (2 \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b})$ ，则 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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4. 函数 $f (x) = \frac{x - \cos x}{2^{x} - 2^{- x}}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 鸡兔同笼，是中国古代著名的趣味题之一.《孙子算经》中就有这样的记载：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何？设计如右图的算法来解决这个问题，则判断框中应填入的是（）

A、 $m > 94$ B、 $m = 94$ C、 $m = 35$ D、 $m \leq 35$

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6. 下面有四个命题：
①“ $\forall x \in R$ ， $e^{x} > 0$ ”的否定是“ $\exists x_{0} \in R$ ， $e^{x_{0}} \leq 0$ ”；②命题“若 $θ = \frac{π}{6}$ ，则 $\cos θ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ”的否命题是“若 $θ = \frac{π}{6}$ ，则 $\cos θ \neq \frac{\sqrt{3}}{2}$ ；③“ $\ln m < \ln n$ ”是“ $e^{m} < e^{n}$ ”的必要不充分条件：④若命题 $p$ 为真命题， $q$ 为假命题，则 $p \lor q$ 为真命题.

其中所有正确命题的编号是（）

A、①②④ B、①③ C、①④ D、②④

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7. 已知 $f (x)$ 是周期为 $4$ 的奇函数，且当 $x \in (- 2, 0)$ 时， $f (x) = - 2^{a x}$ .若 $f (1 + \log_{4} 80) = \frac{4}{5}$ .则 $a =$ （）

A、-1 B、-2 C、1 D、2

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8. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{2} \sin (\frac{π}{4} + x) \sin (\frac{π}{4} - x)$ ，要得到 $g (x) = \sin 2 x + 2 \sin^{2} x - 1$ 的图象，只需将 $f (x)$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{3 π}{8}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{3 π}{8}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{3 π}{4}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{3 π}{4}$ 个单位长度

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9. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | \log_{2} x | ， x > 0 ， \\ 2^{x} ， x \leq 0 ， \end{array}$ 则函数 $g (x) = 3 f^{2} (x) - 8 f (x) + 4$ 的零点个数是（）

A、5 B、4 C、3 D、6

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10. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $b = 2$ ， $\cos 2 A + (4 + \sqrt{3}) \sin (B + C) = 2 \sqrt{3} + 1$ ，点 $P$ 是 $Δ A B C$ 的重心，且 $A P = \frac{2 \sqrt{7}}{3}$ ，则 $a =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ 或 $2 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{13}$ C、 $2 \sqrt{3}$ 或 $2 \sqrt{13}$ D、 $2 \sqrt{7}$

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11. 定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $(x + 1) f^{'} (x) - f (x) < x^{2} + 2 x$ 对 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立.现有下述四个结论：
① $2 f (2) - 3 f (1) < 5$ ；②若 $f (1) = 2$ ， $0 < x < 1$ .则 $f (x) > x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$ ；③ $f (3) - 2 f (1) < 7$ ；④若 $f (1) = 2$ ， $x > 1$ .则 $f (x) > x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$ .

其中所有正确结论的编号是（）

A、①② B、①②③ C、③④ D、①③④

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二、填空题

12. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y + 1 \geq 0 \\ x + y \leq 0 \\ y \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最小值为.

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13. 设函数 $f (x) = e^{x} + x^{2} - a x$ ，若 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极值点，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线的斜率为.

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14. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ ，其中 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称， $g (x)$ 的图象关于点 $(2, - 2)$ 中心对称，且 $f (x) - g (x) = 3^{x} + x^{3} + 3$ ，则 $f (4) =$ .

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15. 若 ${(x + 2)}^{8} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} +$ $a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6} + a_{7} x^{7} + a_{8} x^{8}$ ，则 $a_{1} - 2 a_{2} - 4 a_{4} + 5 a_{5} -$ $6 a_{6} + 7 a_{7} - 8 a_{8} =$ .（用数字作答）.

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16. 在正项数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} (6 a_{n}^{2} + 6 n a_{n} + n^{2}) - a_{n}^{2} (n + 1) = 0$ ，若 $b_{n} = \frac{n}{a_{n}} + 3$ ，则 $b_{n} =$ .

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三、解答题

17. 已知首项为 $1$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $3$ 项和为 $3$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $a_{2} \neq 1$ ， $b_{n} = \log_{2} | a_{n} |$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n + 1} b_{n + 2}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\frac{b}{a} \cos C + (\frac{c}{a} - 2) \cos B = = 0$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围，

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19. 在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶甲、乙两村各50户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况.子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查.并把调查结果转化为各户的贫困指标

x

.将指标

x

按照

[0 ， 0.2)

，

[0.2 ， 0.4)

，

[0.4 ， 0.6)

，

[0.6 ， 0.8)

，

[0.8 ， 1.0]

分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若

0 \leq x < 0.6

，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”，且当

0.8 \leq x \leq 1.0

时，认定该户为“低收入户”；当

0 \leq x < 0.2

时，认定该户为“亟待帮助户".已知此次调查中甲村的“绝对贫困户”占甲村贫困户的24%.

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025
$k_{0}$	2.072	2.706	3.840	5.024

(1)、完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为绝对贫困户数与村落有关：

	甲村	乙村	总计
绝对贫困户
相对贫困户
总计

(2)、某干部决定在这两村贫困指标处于

[0 ， 0.4)

的贫困户中，随机选取3户进行帮扶，用

X

表示所选3户中“亟待帮助户”的户数，求

X

的分布列和数学期望

E X

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20. 大学的生活丰富多彩，很多学生除了学习本专业的必修课外，还会选择一些选修课来充实自己.甲同学调查了自己班上的50名同学学习选修课的情况，并作出如下表格：

每人选择选修课科数	0	1	2	3	4	5	6
频数	1	5	9	15	13	5	2

(1)、求甲同学班上人均学习选修课科数：

(2)、甲同学和乙同学的某门选修课是在同一个班，且该门选修课开始上课的时间是早上8：00，已知甲同学每次上课都会在7：00到7：40之间的任意时刻到达教室，乙同学每次上课都会在7：20到8：00之间的任意时刻到达教室，求连续3天内，甲同学比乙同学早到教室的天数

X

的分布列和数学期望.

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21. 设函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} + a (2 e - e^{x})$ ，

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若不等式 $f (x) > 0$ 对 $x \in (2 ， + \infty)$ 恒成立，求整数 $a$ 的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = (x + 1) \ln x + (1 - k) x + 1$ .

(1)、当 $x \geq 1$ 时，不等式 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围；

(2)、证明： $\forall n \geq 2 ， n \in N$ ， $\ln 5 + \ln 11 + \dots + \ln (n^{2} + n - 1) > n - 2 + \frac{2}{n + 1}$ .

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