吉林省延边州敦化市2019-2020学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2020-10-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 抛物线 $y = {(x - 1)}^{2} + 3$ 的顶点坐标为（）

A、 $(1 ， 3)$ B、 $(- 1 ， 3)$ C、 $(- 1 ， - 3)$ D、 $(3 ， 1)$

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2. 下列函数是 $y$ 关于 $x$ 的反比例函数的是（）

A、 $y = x - 1$ B、 $y = - \frac{5}{x}$ C、 $y = 2 x^{2} + 1$ D、 $y = \frac{4}{x + 1}$

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3. 下列品牌的运动鞋标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 在 $⊙ O$ 上．若 $∠ A E D = 25 °$ ，则 $∠ B C D$ 的度数为（）

A、105° B、110° C、115° D、120°

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D E ∥ B C$ ，且DE分别交AB，AC于点D，E，若 $A D ： A B =2 ： 3$ ，则△ $A D E$ 和△ $A B C$ 的面积之比等于（　　）

A、 $2 ： 3$ B、 $4 ： 9$ C、 $4 ： 5$ D、 $\sqrt{2} ： \sqrt{3}$

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6. 获2019年度诺贝尔化学奖的“锂电池”创造了一个更清洁的世界.我国新能源发展迅猛，某种特型锂电池2016年销售量为8万个，到2018年销售量为97万个.设年均增长率为x，可列方程为（）

A、8（1+x）²＝97 B、97（1﹣x）²＝8 C、8（1+2x）＝97 D、8（1+x²）＝97

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二、填空题

7. 方程（x﹣1）²=4的解为．

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8. 抛物线 $y = - {(x + 1)}^{2} + 3$ 与 $y$ 轴交点坐标为.

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9. 如图，在平面直角坐标系中， $Δ A B C$ 和 $Δ A' B' C'$ 是以坐标原点 $O$ 为位似中心的位似图形，且点B（3，1）， $B'$ ，（6，2），若点 $A'$ （5，6），则点 $A$ 的坐标为．

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10. 若双曲线 $y = \frac{m - 8}{x}$ 的图象在第二、四象限内，则 $m$ 的取值范围是．

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11. 在一个不透明的塑料袋中装有红色白色球共 $40$ 个．除颜色外其他都相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在 $20 %$ 左右，则口袋中红色球可能有个．

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12. 为测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米．按此方法，请计算旗杆的高度为米．

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13. 如图，将正方形 $A B C D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $30 °$ 至正方形 $A B' C' D'$ ，边 $B' C'$ 交 $C D$ 于点 $E$ ，若正方形 $A B C D$ 的边长为 $3$ ，则 $D E$ 的长为．

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14. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + c (a < 0)$ 交 $x$ 轴于点 $G 、 F$ ，交 $y$ 轴于点 $D$ ，在 $x$ 轴上方的抛物线上有两点 $B 、 E$ ，它们关于 $y$ 轴对称，点 $G 、 B$ 在 $y$ 轴左侧． $B A ⊥ O G$ 于点 $A$ ， $B C ⊥ O D$ 于点 $C$ ，四边形 $O A B C$ 与四边形 $O D E F$ 的面积分别为6和10，则 $△ A B G$ 与 $△ B C D$ 的面积之和为．

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三、解答题

15. 解方程：3x（x﹣1）=2﹣2x．

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16. 如图，一块直角三角板的直角顶点 $P$ 放在正方形 $A B C D$ 的边 $B C$ 上，并且使一条直角边经过点 $D$ ．另一条直角边与 $A B$ 交于点 $Q$ ．求证： $Δ B P Q ∽ Δ C D P$ ．

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17. 已知双曲线 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 经过点B（2，1）．

(1)、求双曲线的解析式；

(2)、若点 $A_{1} (x_{1}, y_{1})$ 与点 $A_{2} (x_{2}, y_{2})$ 都在双曲线 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 上，且 $x_{1} < x_{2} < 0$ ，直接写出 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 的大小关系．

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18. 甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选2名同学打第一场比赛．

(1)、已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率是；

(2)、随机选取2名同学，求其中有乙同学的概率．

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19. 如图，在平面直角坐标系中， $Δ A B C$ 三个顶点的坐标分别为A（2，3）、B（1，1）、C（5，1）．

(1)、把 $△ A B C$ 平移后，其中点 $A$ 移到点 $A_{1} (5 ， 5)$ ，面出平移后得到的 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、把 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ 绕点 $A_{1}$ 按逆时针方向旋转 $90 °$ ，画出旋转后得到的 $Δ A_{1} B_{2} C_{2}$ ，并求出旋转过程中点 $B_{1}$ 经过的路径长（结果保留根号和 $π$ ）．

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20. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过A（0，2）、B（4，0）、C（5，-3）三点，当 $x \geq 0$ 时，其图象如图所示．

(1)、求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的顶点坐标；

(2)、求该抛物线与 $x$ 轴的另一个交点的坐标．

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21. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $C D // A B$ ， $A D = B C$ ．已知A（-2，0）、B（6，0）、D（0，3）反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $C$ ．

(1)、求点 $C$ 的坐标和反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的解析式；

(2)、将四边形 $A B C D$ 沿 $y$ 轴向上平移2个单位长度得到四边形 $A' B' C' D'$ ，问点 $B'$ 是否落在（1）中的反比例函数的图象上？

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22. 如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D．

(1)、求证：AE•BC=BD•AC；

(2)、如果 $S_{△ ADE}$ =3， $S_{△ BDE}$ =2，DE=6，求BC的长．

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23. 如图，点 $D$ 是等边 $Δ A B C$ 中 $B C$ 边的延长线上的一点，且 $A C = C D$ ．以 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ ，分别交 $A C$ 、 $E C$ 于点 $E$ 、 $F$ ．

(1)、求证： $A D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、连接 $O C$ ，交 $⊙ O$ 于点 $G$ ，若 $A B = 4$ ，求线段 $C E$ 、 $C G$ 与 $\overset{⌢}{G E}$ 围成的阴影部分的面积（结果保留根号和 $π$ ）．

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24. 一次函数 $y = k x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象相交于A（﹣1，4），B（2，n）两点，直线AB交x轴于点D．

(1)、求一次函数与反比例函数的表达式；

(2)、过点B作BC⊥y轴，垂足为C，连接AC交x轴于点E，求△AED的面积S．

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25. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 6 c m$ ， $B C = 8 c m$ ．动点 $D$ 从点 $C$ 出发，沿线段 $C A$ 向终点 $A$ 以 $1 c m$ / $s$ 的速度运动，同时动点 $E$ 从点 $C$ 出发，沿折线 $C B - B A$ 以 $2 c m$ / $s$ 的速度向终点 $A$ 运动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，以 $D C$ 、 $D E$ 为邻边作设▱ $C D E F$ 与 $R t Δ A B C$ 重叠部分图形的面积为 $S ({cm}^{2})$ $.$ 点 $D$ 运动的时间为 $t (s) (t > 0)$ ．

(1)、当点 $E$ 在 $A B$ 边上时，求 $A E$ 的长（用含 $t$ 的代数式表示）；

(2)、当点 $F$ 落在线段 $B C$ 上时，求 $t$ 的值；

(3)、求 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式 $(S > 0)$ ，并写出自变量 $t$ 的取值范围．

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26. 若二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象的顶点在 $y = k x + t (k \neq 0)$ 的图象上，则称 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 为 $y = k x + t (k \neq 0)$ 的伴随函数，如 $y = - x^{2} - 1$ 是 $y = 2 x - 1$ 的伴随函数．

(1)、若函数 $y = x^{2} - 2 x + 2$ 是 $y = 2 x + t$ 的伴随函数，求 $t$ 的值；

(2)、已知函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 是 $y = x + 2$ 的伴随函数．
①当点（2，-2）在二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象上时，求二次函数的解析式；

②已知矩形 $A B O C$ ， $O$ 为原点，点 $B$ 在 $y$ 轴正半轴上，点 $C$ 在 $x$ 轴正半轴上，点 $A$ （6，2），当二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象与矩形 $A B O C$ 有三个交点时，求此二次函数的顶点坐标．

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