吉林省四平市铁西区2019-2020学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2020-10-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 如果△ABC∽△DEF，相似比为2：1，且△DEF的面积为4，那么△ABC的面积为（　　）

A、1 B、4 C、8 D、16

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3. 如图，正六边形 $A B C D E F$ 内接于 $⊙ O$ ，连接 $B D$ ．则 $∠ C B D$ 的度数是（）

A、15° B、20° C、30° D、45°

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4. 如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=130°，则∠D等于（）

A、25° B、35° C、50° D、65°

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5. 如图， $Δ A B C$ 是等腰直角三角形，且 $∠ A B C = 90 °$ ， $C A ⊥ x$ 轴，点 $C$ 在函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，若 $A B = 1$ ，则 $k$ 的值为（）

A、2 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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6. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $(- 1 ， 0)$ ，对称轴为 $x = 1$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a > 0$ B、当 $x > 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大 C、 $c < 0$ D、 $x = 3$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根

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二、填空题

7. 小强同学从0，1，2，3这四个数中任选一个数，满足不等式 $x + 1 < 2$ 的概率是．

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8. 抛物线 $y = 3 x^{2} + 2 x - 3$ 的对称轴为．

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9. 将抛物线 $y = - x^{2}$ 向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，得到的抛物线的解析式为．

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10. 为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表．由于书房空间狭小，他想根据测试距离为 $5 m$ 的大视力表制作一个测试距离为 $3 m$ 的小视力表．如图，如果大视力表中“ $E$ ”的高度是 $3.5 c m$ ，那么小视力表中相应“ $E$ ”的高度是．

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11. 如图，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合连接CD ，则∠BDC的度数为度．

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12. 已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + 4$ 经过 $(- 2, n)$ 和 $(4, n)$ 两点，则 $n$ 的值为．

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13. 如图，在半径为 $10 c m$ 的圆形铁片上切下一块高为 $4 c m$ 的弓形铁片，则弓形弦 $A B$ 的长为cm．

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14. 如图所示，矩形纸片 $A B C D$ 中， $A D = 6 c m$ ，把它分割成正方形纸片 $A B F E$ 和矩形纸片 $E F C D$ 后，分别裁出扇形 $A B F$ 和半径最大的圆，恰好能作一个圆锥的侧面和底面，则 $A B$ 的长为.

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三、解答题

15. 小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示，它的底面半径 $O B = 3 c m$ ，高 $O C = 4 c m$ ，求这个圆锥形漏斗的侧面积．

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16. 如图，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，且A，D，C三点在同一条直线上．求证：DB平分∠ADE．

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17. 在一个不透明的布袋中，有2个红球，1个白球，这些球除颜色外都相同

(1)、搅匀后从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是；

(2)、搅匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的球中任意摸出1个球．求两次都摸到红球的概率．（用树状图或表格列出所有等可能出现的结果）

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18. 如图， $▱ A B C D$ 中，顶点 $A$ 的坐标是 $(0 ， 2)$ ， $A D // x$ 轴， $B C$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ，顶点 $C$ 的纵坐标是-4， $▱ A B C D$ 的面积是24．反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $B$ 和 $D$ ，求反比例函数的表达式．

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19. 如图， $Δ A B C$ 的顶点坐标分别为 $A (- 2 ， - 4)$ ， $B (0 ， - 4)$ ， $C (1 ， - 1)$ ．

(1)、画出 $Δ A B C$ 关于点 $O$ 的中心对称图形 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、画出 $Δ A B C$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ 的 $Δ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，直接写出点 $C_{2}$ 的坐标为；

(3)、若 $Δ A B C$ 内一点 $P (m ， n)$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ 的对应点为 $Q$ ，则 $Q$ 的坐标为． (用含 $m$ ， $n$ 的式子表示)

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20. 如图， $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $P$ 为 $Δ A B C$ 内部一点， $∠ A P B = ∠ B P C = 135 °$ ．求证： $Δ P A B \sim Δ P B C$ ．

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21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y_{1} = k x + b (k \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象分别相交于第一、三象限内的 $A (3 ， 5)$ ， $B (a ， - 3)$ 两点，与 $x$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求该反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、在 $y$ 轴上找到一点 $P$ 使 $P B - P C$ 最大，请直接写出此时点 $P$ 的坐标．

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22. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 上部分点的横坐标 $x$ ，纵坐标 $y$ 的对应值如下表：

$x$

$\dots$

-3

-2

-1

0

1

$\dots$

$y$

$\dots$

0

_________

4

3

0

$\dots$

(1)、把表格填写完整；

(2)、根据上表填空：
①抛物线与 $x$ 轴的交点坐标是和；

②在对称轴右侧， $y$ 随 $x$ 增大而；

③当 $- 2 < x < 2$ 时，则 $y$ 的取值范围是；

(3)、请直接写出抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的解析式．

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23. 如图， $Δ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，直径 $A D$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，延长 $A D$ 至点 $F$ ，使 $D F = 2 O D$ ，且 $D E = 2 O E$ ，连接 $F C$ 并延长交过点 $A$ 的切线于点 $G$ ，且满足 $A G // B C$ ，连接 $O C$ ．

(1)、求证： $∠ C O D = ∠ B A C$ ；

(2)、求证： $C F$ 是 $⊙ O$ 的切线．

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24. 方方驾驶小汽车匀速地从 $A$ 地行驶到 $B$ 地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为 $t$ (单位：小时)，行驶速度为 $v$ (单位：千米/小时)，且全程速度限定为不超过 $120$ 千米/小时．

(1)、求 $v$ 关于 $t$ 的函数表达式，并写出自变量 $t$ 的取值范围；

(2)、方方上午8点驾驶小汽车从 $A$ 地出发；
①方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达 $B$ 地，求小汽车行驶速度 $v$ 的范围；

②方方能否在当天11点30分前到达 $B$ 地？说明理由．

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25. 如图1是实验室中的一种摆动装置， $B C$ 在地面上，支架 $A B C$ 是底边为 $B C$ 的等腰直角三角形，摆动臂长 $A D$ 可绕点A旋转，摆动臂 $D M$ 可绕点D旋转， $A D = 30$ ， $D M = 10$ .

(1)、在旋转过程中：
①当 $A ， D ， M$ 三点在同一直线上时，求 $A M$ 的长；

②当 $A ， D ， M$ 三点在同一直角三角形的顶点时，求 $A M$ 的长.

(2)、若摆动臂 $A D$ 顺时针旋转 $90 °$ ，点 $D$ 的位置由 $△ A B C$ 外的点 $D_{1}$ 转到其内的点 $D_{2}$ 处，连结 $D_{1} D_{2}$ ，如图2，此时 $∠ A D_{2} C = 135 °$ ， $C D_{2} = 60$ ，求 $B D_{2}$ 的长.

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26. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x - 6 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $B C$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $D$ 在抛物线的对称轴上，当 $Δ A C D$ 的周长最小时，点 $D$ 的坐标为；

(3)、点 $E$ 是第四象限内抛物线上的动点，连接 $C E$ 和 $B E$ ．求 $Δ B C E$ 面积的最大值及此时点 $E$ 的坐标；

(4)、若点 $M$ 是对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 $N$ ，使以点 $B$ 、 $C$ 、 $M$ 、 $N$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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$x$	$\dots$	-3	-2	-1	0	1	$\dots$
$y$	$\dots$	0	_________	4	3	0	$\dots$