广东省广州市海珠区2019-2020学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2020-10-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 如图所示，在 $Rt △ A B C$ 中， $D$ 为 $A B$ 中点， $D E ∥ B C$ 交 $A C$ 于 $E$ 点，则 $△ A D E$ 与 $△ A B C$ 的面积比为（）．

A、1：1 B、1：2 C、1：3 D、1：4

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3. 下列关于 $x$ 的一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（）

A、 $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ B、 $x^{2} + 1 = 0$ C、 $4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ D、 $x^{2} + x + 3 = 0$

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4. 如图， $P A$ ， $P B$ 是 $⊙ O$ 的切线， $A$ ， $B$ 为切点， $A C$ 是 $⊙ O$ 的直径， $∠ B A C = 15 °$ ，则 $∠ P$ 的度数为（）

A、25° B、30° C、45° D、50°

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5. 如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB=4，CD=1，则⊙O的半径为（）

A、5 B、 $\sqrt{5}$ C、3 D、 $\frac{5}{2}$

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6. 要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（毎两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，设应邀请x个球队参加比赛，根据题意可列方程为（）

A、x（x﹣1）=15 B、x（x+1）=15 C、 $\frac{x (x - 1)}{2}$ =15 D、 $\frac{x (x + 1)}{2}$ =15

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7. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知二次函数 $y = 3 {(x + 1)}^{2} + k$ 的图象上有三点， $A (0.5, y_{1})$ ， $B (2, y_{2})$ ， $C (- 2, y_{3})$ 则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ C、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$ D、 $y_{2} > y_{3} > y_{1}$

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9. 二次函数 $y = - x^{2} - 2 x + m$ ，在 $- 3 \leq x \leq 2$ 的范围内有最小值 $- 3$ ，则 $m$ 的值是（）

A、-6 B、-2 C、2 D、5

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10. 已知： $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A D$ ， $B C$ 是 $⊙ O$ 的切线， $P$ 是 $⊙ O$ 上一动点，若 $A D = 10$ ， $O A = 4$ ， $B C = 16$ ，则 $Δ P C D$ 的面积的最小值是（）

A、36 B、32 C、24 D、10.4

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二、填空题

11. 如图，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 都在 $⊙ O$ 上，若 $∠ A O B = 72 °$ ，则 $∠ A C B$ 的度数是．

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12. 二次函数 $y = x^{2} + 2 x + 3$ 的顶点坐标是．

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13. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以原点为位似中心线段 $C D$ 与线段 $A B$ 是位似图形，若 $C (2 ， 3)$ ， $D (3 ， 1)$ ， $A (4 ， 6)$ ，则 $B$ 的坐标为．

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14. 如图，已知圆锥的母线长为2，高所在直线与母线的夹角为 $30 °$ ，则圆锥的全面积．

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15. 如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC=105°，则∠C= ．

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16. 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：
①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（填序号）

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三、解答题

17. 解下列一元二次方程：

(1)、 $x^{2} + 6 x + 5 = 0$

(2)、 $16 {(x + 1)}^{2} = 25$

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18. 如图， $Δ A B C$ 在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为 $A (- 1 ， 5)$ ， $B (- 4 ， 2)$ ， $C (- 2 ， 2)$ ．

(1)、将 $Δ A B C$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ 后，得到 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请画出 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、求旋转过程中点 $B$ 经过的路径长（结果保留 $π$ ）

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19. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M是BC的中点，DE⊥AM于点E．

(1)、求证：△ADE∽△MAB；

(2)、求DE的长．

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20. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + 6 x + (2 m + 1) = 0$ 有实数根．

(1)、求m的取值范围；

(2)、如果方程的两个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $2 x_{1} x_{2} - x_{1} - x_{2} \geq 8$ ，求 $m$ 的取值范围．

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21. 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线．

(1)、请尺规作图：作⊙O ，使圆心O在AB上，且AD为⊙O的一条弦．（不写作法，保留作图痕迹）；

(2)、判断直线BC与所作⊙O的位置关系，并说明理由．

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22. 如图，在一个 $R t Δ E F G$ 的内部作一个矩形 $A B C D$ ，其中点 $A$ 和点 $D$ 分别在两直角边上， $B C$ 在斜边上， $E F = 30 c m$ ， $F G = 40 c m$ ，设 $A B = x c m$ ．

(1)、试用含x的代数式表示AD；

(2)、设矩形 $A B C D$ 的面积为 $s$ ，当 $x$ 为何值时， $s$ 的值最大，最大值是多少？

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23. 如图， $R t Δ A C B$ 中，以 $B C$ 边上一点 $O$ 为圆心作圆， $⊙ O$ 与边 $A C$ 、 $A B$ 分别切于点 $C$ 、 $D$ ， $⊙ O$ 与 $B C$ 另一交点为 $E$ ．

(1)、求证： $B D \cdot A B = O B \cdot B C$ ；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为 $5$ ， $A C = \frac{20}{3}$ ，求 $B D$ 的长．

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24. 已知：抛物线 $y = a x^{2} - 3 (a - 1) x + 2 a - 6$ $(a > 0)$ ．

(1)、求证：抛物线与 $x$ 轴有两个交点．

(2)、设抛物线与 $x$ 轴的两个交点的横坐标分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ （其中 $x_{1} > x_{2}$ ）．若 $t$ 是关于 $a$ 的函数、且 $t = a x_{2} - x_{1}$ ，求这个函数的表达式；

(3)、若 $a = 1$ ，将抛物线向上平移一个单位后与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ ．平移后如图所示，过 $A$ 作直线 $A C$ ，分别交 $y$ 的正半轴于点 $P$ 和抛物线于点 $C$ ，且 $O P = 1$ ． $M$ 是线段 $A C$ 上一动点，求 $2 M B + M C$ 的最小值．

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25. 在平面直角坐标系中，已知矩形 $O A B C$ 中的点 $A (0 ， 4)$ ，抛物线 $y_{1} = a x^{2} + b x + c$ 经过原点 $O$ 和点 $C$ ，并且有最低点 $G (2 ， - 1)$ 点 $E$ ， $F$ 分别在线段 $O C$ ， $B C$ 上，且 $S_{Δ A E F} = \frac{5}{16} S_{矩形 O A B C}$ ， $C F = 1$ ，直线 $B E$ 的解析式为 $y_{2} = k x + b$ ，其图像与抛物线在 $x$ 轴下方的图像交于点 $D$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、当 $y_{1} < y_{2} < 0$ 时，求 $x$ 的取值范围；

(3)、在线段 $B D$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $\frac{1}{4} ∠ D M C = ∠ E A F$ ，若存在，请求出点 $M$ 的坐标，若不存在，请说明理由．

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