四川省绵阳市江油市2019-2020学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2020-10-16 类型：期中考试

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一、单选题

1. 要使方程 $(a - 3) x^{2} + (b + 1) x + c = 0$ 是关于 $x$ 的一元二次方程，则（）

A、 $a \neq 0$ B、 $a \neq 3$ C、 $a \neq 1$ 且 $b \neq - 1$ D、 $a \neq 3$ 且 $b \neq - 1$ 且 $c \neq 0$

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2. 下列安全标志图中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 用配方法解方程 $x^{2} + 8 x + 9 = 0$ ，变形后的结果正确的是（）．

A、 ${(x + 4)}^{2} = - 7$ B、 ${(x + 4)}^{2} = 14$ C、 ${(x + 4)}^{2} = 7$ D、 ${(x + 4)}^{2} = 25$

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4. 如图，在同一平面内，将△ABC绕A点逆时针旋转到△ADE的位置．若AC⊥DE ， ∠ABD＝62°，则∠ACB的度数为（）

A、56° B、44° C、34° D、40°

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5. 二次函数 $y = k x^{2} - 6 x + 3$ 的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）

A、 $k < 3$ B、 $k < 3$ 且 $k \neq 0$ C、 $k \leq 3$ D、 $k \leq 3$ 且 $k \neq 0$

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6. 把抛物线 $y = 3 x^{2}$ 向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式是（）．

A、 $y = 3 {(x - 1)}^{2} + 2$ B、 $y = 3 {(x - 2)}^{2} + 1$ C、 $y = 3 {(x + 1)}^{2} + 2$ D、 $y = 3 {(x + 2)}^{2} - 1$

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7. 设 $A (- 2, y_{1})$ ， $B (1, y_{2})$ ， $C (2, y_{3})$ 是抛物线 $y = - {(x + 1)}^{2} + 1$ 的三点，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ C、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ D、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$

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8. 某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）

A、50（1+x）²=182 B、50+50（1+x）+50（1+x）²=182 C、50（1+2x）=182 D、50+50（1+x）+50（1+2x）²=182

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9. 定义：如果一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = o (a \neq 0)$ 满足 $a - b + c = 0$ ，那么我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是（）

A、b=c B、a=b C、a=c D、a=b=c

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10. 如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm² ，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）

A、10×6﹣4×6x=32 B、（10﹣2x）（6﹣2x）=32 C、（10﹣x）（6﹣x）=32 D、10×6﹣4x²=32

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11. 三角形两边长分别是 $8$ 和 $6$ ，第三边长是一元二次方程 $x^{2} - 16 x + 60 = 0$ 的一个实数根，则该三角形的面积是（）

A、 $24$ B、 $48$ C、 $48$ 或 $8 \sqrt{5}$ D、 $24$ 或 $8 \sqrt{5}$

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12. 已知二次函数的解析式为 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为常数， $a \neq 0$ ），且 $a^{2} + a b + a c < 0$ ，下列说法：① $b^{2} - 4 a c < 0$ ；② $a b + a c < 0$ ；③方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个不同根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $(x_{1} - 1) (1 - x_{2}) > 0$ ；④二次函数的图象与坐标轴有三个不同交点，其中正确的个数是（）．

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 在平面直角坐标系中，点M(a+1,2),N(-3,b-1)关于原点对称，则a^b=.

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14. 方程x²＋px＋q＝0，甲同学因为看错了常数项，解得的根是6，－1；乙同学看错了一次项，解得的根是－2，－3，则原方程为．

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15. 要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）计划安排15场比赛，应邀请个球队参加比赛.

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16. 校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度 $y (m)$ 与水平距离 $x (m)$ 之间的函数关系式为 $y = - \frac{1}{12} x^{2} + \frac{2}{3} x + \frac{5}{3}$ ，小明这次试掷的成绩是．

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17. 《九章算术》中记载：“今有竹高一丈，未折抵地，去根三尺，问折者高几何？”译文：有一根竹子原高一丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？我们用线段OA和线段AB来表示竹子，其中线段AB表示竹子折断部分，用线段OB表示竹梢触地处离竹根的距离，则竹子折断处离地面的高度OA是尺．

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18. 如图，分别过点P_i（i，0）（i=1、2、…、n）作x轴的垂线，交 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ 的图象于点A_i ，交直线 $y = - \frac{1}{2} x$ 于点B_i ．则 $\frac{1}{A_{1} B_{1}} + \frac{1}{A_{2} B_{2}} + ... + \frac{1}{A_{n} B_{n}}$ = ．

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三、解答题

19.

(1)、解方程： $x^{2} - 4 x - 21 = 0$ ；

(2)、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (1 ， 1)$ 、 $B (5 ， 1)$ 、 $C (4 ， 4)$ ．
①将 $△ A B C$ 向左平移5个单位得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，写出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 三顶点的坐标；

②将 $△ A B C$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ 后得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，请你画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

③ $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 重合部分的面积为．（直接写出）

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20. 已知抛物线的顶点为 $(4 ， - 3)$ ，并且经过点 $(5 ， - 2)$ ．

(1)、试确定此抛物线的解析式；

(2)、在如图所示的平面直角坐标系内画出这个函数的大致图案；

(3)、请直接写出 $y < 0$ 时， $x$ 的取值范围．

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21. 已知关于x的一元二次方程x²﹣4x+2k=0

(1)、若方程有实数根，求k的取值范围．

(2)、如果k是满足条件的最大的整数，且方程x²﹣4x+2k=0的根是一元二次方程x²﹣2mx+3m﹣1=0的一个根，求m的值及这个方程的另一个根．

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22. 某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱．

(1)、写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；

(2)、超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？

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23. 在 $R t △ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $O B = O C$ ， $∠ A = 90 °$ ， $∠ M O N = α$ ，分别交直线 $A B$ 、 $A C$ 于点 $M$ 、 $N$ ．

(1)、如图1，当 $α = 90 °$ 时，求证： $A M = C N$ ；

(2)、如图2，当 $α = 45 °$ 时，线段 $B M$ 、 $M N$ 、 $A N$ 之间有何数量关系，证明你的结论；

(3)、如图3，当 $α = 45 °$ 时，旋转 $∠ M O N$ ，问线段之间 $B M$ 、 $M N$ 、 $A N$ 有何数量关系？证明你的结论．

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24. 如图，二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A 、 B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C ， O B = O C$ .点 $D$ 在函数图象上， $C D / / x$ 轴，且 $C D = 2$ ，直线 $l$ 是抛物线的对称轴， $E$ 是抛物线的顶点.

(1)、求 $b 、 c$ 的值；

(2)、如图①，连接 $B E$ ，线段 $O C$ 上的点 $F$ 关于直线 $l$ 的对称点F'恰好在线段BE上，求点 $F$ 的坐标；

(3)、如图②，动点 $P$ 在线段 $O B$ 上，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线分别与 $B C$ 交于点 $M$ ，与抛物线交于点 $N$ .试问：直线 $P N$ 右侧的抛物线上是否存在点 $Q$ ，使得 $△ P Q N$ 与 $Δ A P M$ 的面积相等，且线段 $N Q$ 的长度最小?如果存在，求出点 $Q$ 的坐标；如果不存在，说明理由.

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