湖北省部分重点中学2019-2020学年高三上学期理数第一次联考试卷

试卷更新日期：2020-10-15 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 集合 $A = {x | x^{2} - x - 6 < 0}$ ，集合 $B = {x | \log_{2} x < 1}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- 2, 3)$ B、 $(- \infty, 3)$ C、 $(- 2, 2)$ D、 $(0, 2)$

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2. 已知 $a$ 是实数， $\frac{a + i}{1 - i}$ 是纯虚数，则 $a$ 等于（）

A、 $- \sqrt{2}$ B、-1 C、 $\sqrt{2}$ D、1

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3. 若 $2 \sin x - \cos (\frac{π}{2} + x) = 1$ ，则 $\cos 2 x =$ （）

A、 $- \frac{8}{9}$ B、 $- \frac{7}{9}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、-1

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4. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列，若 $a_{3} = 2 ， a_{5} = 8$ ，则 $a_{7} + a_{8} =$ （）

A、-32 B、96 C、-32或96 D、-96或32

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5. 点 $P$ 是 $△ A B C$ 所在平面上一点，若 $\overset{⇀}{A P} = \frac{2}{5} \overset{⇀}{A B} + \frac{3}{5} \overset{⇀}{A C}$ ，则 $△ A B P$ 与 $△ A C P$ 的面积之比是（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 下列说法正确的个数是（）
①命题“若 $a + b ⩾ 4$ ，则 $a$ ， $b$ 中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题②命题“设 $a ， b \in R$ ，若 $a + b \neq 5$ ，则 $a \neq 3$ 或 $b \neq 2$ ”是一个真命题③“ $\exists x_{0} \in R ， x_{0}^{2} - x_{0} < 0$ 的否定是“ $\forall x \in R ， x^{2} - x > 0$ ”④已知 $x$ ， $y$ 都是实数，“ $| x | + | y | ⩽ 1$ ”是“ $x^{2} + y^{2} ⩽ 1$ ”的充分不必要条件

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 下列函数中，既是偶函数，又在 $(- \infty, 0)$ 内单调递增的为（）

A、 $y = x^{2} - | x |$ B、 $y = 2^{| x |}$ C、 $y = 2^{x} - 2^{- x}$ D、 $y = \log_{\frac{1}{2}} | x | - x^{2}$

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8. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + a}$ ，则不等式 $f (x - 2) + f (x^{2} - 4) < 0$ 的解集为（）

A、（-1，6） B、（-6，1） C、（-2，3） D、（-3，2）

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9. $△ A O B$ 中， $\vec{O A} = \vec{a} ， \vec{O B} = \vec{b}$ ，满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} - \vec{b} | = 2$ ，则 $Δ A O B$ 的面积的最大值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{a} (x + 1), & (- 1 < x < 1) \\ f (2 - x) + a - 1, & (1 < x < 3) \end{array}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），若 $x_{1} \neq x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $x_{1} + x_{2}$ 的值（）

A、恒小于2 B、恒大于2 C、恒等于2 D、以上都不对

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11. 已知函数 $f (x) = 2 \sin ω x \cdot \cos^{2} (\frac{ω x}{2} - \frac{π}{4}) - \sin^{2} ω x (ω > 0)$ 在区间 $[- \frac{2 π}{5}, \frac{5 π}{6}]$ 上是增函数，且在区间 $[0, π]$ 上恰好取得一次最大值，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{3}{5}]$ B、 $[\frac{1}{2}, \frac{5}{2})$ C、 $[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}]$ D、 $[\frac{1}{2}, \frac{3}{5}]$

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12. 已知对任意实数 $x$ 都有 $f^{'} (x) = 2 e^{x} + f (x) ， f (0) = - 1$ ，若不等式 $f (x) < a (x - 1)$ ，（其中 $a < 1$ ）的解集中恰有两个整数，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{3}{2 e} ， 1)$ B、 $[- \frac{3}{2 e} ， 1)$ C、 $[\frac{5}{3 e^{2}} ， \frac{3}{2 e})$ D、 $[\frac{5}{3 e^{2}} ， 1)$

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二、填空题

13. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y + 3 ⩾ 0 ， \\ x + 2 y ⩾ 0 ， \\ x ⩽ 2 ， \end{array}$ 则 $z = 3 x + y$ 的最小值为.

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14. 非零向量 $\overset{⇀}{a}$ 和 $\overset{⇀}{b}$ 满足 $2 | \overset{⇀}{a} | = | \overset{⇀}{b} |$ ， $\overset{⇀}{a} ⊥ (\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b})$ ，则 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为.

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15. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 在区间 $(\frac{17 π}{3} ， a)$ 上是单调函数，则实数 $a$ 的最大值为.

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16. 已知函数 $f (x) = \ln \frac{x}{2} + \frac{1}{2} ， g (x) = e^{x - 2}$ ，若 $\forall m \in R ， \exists n \in (0 ， + \infty)$ 使得 $g (m) = f (n)$ 成立则 $n - m$ 的最小值是.

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} + a_{n + 1} = 3 n + 5$ ， $n = 1, 2, 3 \dots$

(1)、证明： $a_{n + 1} - a_{n - 1} = 3$ ， $n = 2, 3 \dots$ ；

(2)、求和： $a_{1} a_{2} - a_{2} a_{3} + a_{3} a_{4} - a_{4} a_{5} + \dots + a_{2 n - 1} a_{2 n} - a_{2 n} a_{2 n + 1}$

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $M$ 是边 $B C$ 的中点， $\cos ∠ B A M = \frac{5 \sqrt{7}}{14}$ ， $\cos ∠ A M C = - \frac{2 \sqrt{7}}{7}$ .

(1)、求 $∠ B$ 的大小；

(2)、若 $A M = \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P B ⊥ A D$ ， $△ P A D$ 是边长为2的正三角形底面 $A B C D$ 是菱形，点 $M$ 为 $P C$ 的中点

(1)、求证： $P A ∥$ 平面 $M D B$ ；

(2)、求二面角 $A - P B - C$ 的余弦值.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 其右顶点为 $A$ ，下顶点为 $B$ ，定点 $C (0 ， 2)$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 过点 $C$ 作与 $y$ 轴不重合的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $P ， Q$ 两点，直线 $B P ， B Q$ 分别与 $X$ 轴交于 $M ， N$ 两点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、试探究 $M ， N$ 的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.

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21. 某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试。现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：

(1)、估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.

(2)、根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程 $X$ 近似地服从正态分布 $N (μ ， σ^{2}))$ ，经计算第（1）问中样本标准差 $s$ 的近似值为50。用样本平均数 $\bar{x}$ 作为 $μ$ 的近似值，用样本标准差 $s$ 作为 $σ$ 的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.
参考数据：若随机变量服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ ⩽ μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 3 σ < ξ ⩽ μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ， $P (μ - 2 σ < ξ ⩽ μ + 2 σ) \approx 0.9545$ .

(3)、某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券3万元。已知硬币出现正、反面的概率都是0.5方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次。若掷出正面，遥控车向前移动一格（从 $k$ 到 $k + 1$ ）若掷出反面遥控车向前移动两格（从 $k$ 到 $k + 2$ ），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束。设遥控车移到第 $n (1 ⩽ n ⩽ 19)$ 格的概率为P试证明 ${P_{n} - P_{n - 1}}$ 是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值。

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{\sin x}{x} ， g (x) = x \cdot \cos x - \sin x$ .

(1)、判断函数 $g (x)$ 在区间 $(0 ， 3 π)$ 上零点的个数；

(2)、函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上的极值点从小到大分别为 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4} \dots ， x_{n} \dots$ ，证明：
（Ⅰ） $f (x_{1}) + f (x_{2}) < 0$ ；

（Ⅱ）对一切 $n \in N^{*} ， f (x_{1}) + f (x_{2}) + f (x_{3}) + \dots + f (x_{n}) < 0$ 成立.

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