湖北省百校大联盟高三上学期理数10月月考试卷

试卷更新日期：2020-10-15 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若集合 $M = {x | - 1 < 2 - x \leq 1}$ ， $N = {x | x^{2} - 6 x + 8 < 0}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $(2, 3]$ B、 $(2, 3)$ C、 $[1, 4)$ D、 $(1, 4)$

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2. 命题“存在一个偶函数，其值域为R”的否定为（）

A、所有的偶函数的值域都不为R B、存在一个偶函数，其值域不为R C、所有的奇函数的值域都不为R D、存在一个奇函数，其值域不为R

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3. 函数 $f (x) = \sqrt{3 - 3^{- x}} + \ln | x |$ 的定义域为（）

A、 $[- 1 ， + \infty)$ B、 $[- 1 ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1]$ D、 $(- 1 ， 0) \cup (0 ， + \infty)$

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4. 若 $b = 10 a$ ，且a为整数，则“b能被5整除”是“a能被5整除”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 将曲线 $y = 2 \sin (4 x + \frac{π}{5})$ 上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得曲线关于y轴对称，最后得到的曲线的对称轴方程为（）

A、 $x = \frac{3 π}{80} + \frac{k π}{8} (k \in Z)$ B、 $x = - \frac{3 π}{80} + \frac{k π}{8} (k \in Z)$ C、 $x = \frac{3 π}{20} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$ D、 $x = - \frac{3 π}{20} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$

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6. 4片叶子由曲线 $y^{2} = | x |$ 与曲线 $| y | = x^{2}$ 围成，则每片叶子的面积为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 下列不等式正确的是（）

A、 $\sin 130^{\circ} > \sin 40^{\circ} > \log_{3} 4$ B、 $\tan 226^{\circ} < \ln 0.4 < \tan 48^{\circ}$ C、 $\cos (- 20^{\circ}) < \sin 65^{\circ} < \lg 11$ D、 $\tan 410^{\circ} > \sin 80^{\circ} > \log_{5} 2$

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8. 函数 $f (x) = \frac{2 \cos x - x^{2}}{e^{| x |}}$ 在 $[- π ， π]$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知 $\cos 27^{°} = 0.891$ ，则 $\sqrt{2} (\cos 72 ° + \cos 18 °)$ 的近似值为（）

A、1.77 B、1.78 C、1.79 D、1.81

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10. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (2 - x)$ ，且 $f (x)$ 的图象关于点 $(3, 0)$ 对称，当 $1 ⩽ x ⩽ 2$ 时， $f (x) = 2 x + \log_{3} (4 x + 3)$ ，则 $f (\frac{1609}{2}) =$ （）

A、-4 B、4 C、-5 D、5

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11. 函数 $f (x) = \frac{\sin 4 x + \sqrt{3} \cos 4 x}{\sin 2 x - \sqrt{3} \cos 2 x}$ 的值域为（）

A、 $(- 2, 2)$ B、 $(- 1, 1)$ C、 $[- 1, 1]$ D、 $[- 2, 2]$

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12. 若函数 $f (x) = 2 x^{3} - a x^{2} (a < 0)$ 在 $(\frac{a}{2} ， \frac{a + 6}{3})$ 有最大值，则a的取值范围为（）

A、 $[- 4 ， 0)$ B、 $(- \infty ， - 4]$ C、 $[- 2 ， 0)$ D、 $(- \infty ， - 2]$

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二、填空题

13. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 \lg x, x > 0 \\ {(\frac{1}{4})}^{x}, x < 0 \end{array}$ ，则 $f (- f (10)) =$ .

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14. 直线 $2 y + 1 = 0$ 与曲线 $y = \cos x$ ，在 $(- \frac{3 π}{4} ， \frac{3 π}{2})$ 上的交点的个数为.

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15. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + \infty)$ ，其导函数 $f^{'} (x)$ 满足 $f (x) + x f^{'} (x) < \frac{x f (x)}{x + 1}$ 对 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，且 $f (1) = 2$ ，则不等式 $(x + 1) f (x + 1) < x + 2$ 的解集是.

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三、双空题

16. 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = a^{2 x} - a^{x} + 2 a$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象经过点 $A (1, 6)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 的值域.

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18. 已知函数 $f (x) = 3 \sin (ω x + φ) (ω > ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、求 $ω$ ， $φ$ ；

(2)、若 $f (\frac{α}{2}) = \frac{9}{5}$ ， $a \in (\frac{π}{3} ， \frac{5 π}{6})$ ，求 $\sin α$ .

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19. 已知函数 $f (x) = x - a e^{a x} (a > 0)$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) < 0$ 恒成立，求a的取值范围.

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20. 将函数 $g (x) = 4 \sin x \cdot \cos (x + \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $φ (0 < φ \leq \frac{π}{2})$ 个单位长度后得到 $f (x)$ 的图象.

(1)、若 $f (x)$ 为偶函数， $\tan α > 2$ ，求 $f (α)$ 的取值范围.

(2)、若 $f (x)$ 在 $(π, \frac{7 π}{6})$ 上是单调函数，求 $φ$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = x (1 - \sin x)$ .

(1)、求函数 $f (π x)$ 在 $(- 20 ， 20)$ 上的零点之和；

(2)、证明： $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上只有1个极值点.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - x + 2 a^{2} \ln x (a \neq 0)$

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性.

(2)、若 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} \leq \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ .

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