四川省乐山市2020届高三上学期理数第一次调查研究考试试卷

试卷更新日期：2020-10-15 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | (x + 2) (x - 3) < 0} ， B = {x | y = \sqrt{x - 1}}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 $[- 2 ， 1)$ B、 $[1 ， 3]$ C、 $(- \infty ， - 2)$ D、 $(- 2 ， 1)$

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2. 已知 $\vec{O A} = (5 ， - 1) ， \vec{O B} = (3 ， 2)$ ， $\vec{A B}$ 对应的复数为 $z$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $5 - i$ B、 $3 + 2 i$ C、 $- 2 + 3 i$ D、 $- 2 - 3 i$

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3. ${(2 x - y)}^{5}$ 的展开式中，含 $x^{3} y^{2}$ 的系数为（）

A、80 B、-80 C、40 D、-40

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4. 在一次期末考试中，随机抽取200名学生的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组： $[50 ， 60) ， [60 ， 70) ， [70 ， 80) ， [80 ， 90) ， [90 ， 100)$ .据此绘制了如下图所示的频率分布直方图.则这200名学生中成绩在 $[80 ， 90)$ 中的学生有（）

A、30名 B、40名 C、50名 D、60名

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5. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3^{x} - 2 ， x > 0 \\ x + \log_{3} 6 ， x \leq 0 \end{array}$ 的零点之和为（）

A、-1 B、1 C、-2 D、2

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6. 我市高中数学研究会准备从会员中选拔 $x$ 名男生， $y$ 名女生组成一个小组去参加数学文化知识竞赛，若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x - y ⩾ 5 \\ y ⩾ \frac{1}{2} x - 1 \\ x ⩽ 7 \end{array}$ ，则该小组最多选拔学生（）

A、21名 B、16名 C、13名 D、11名

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7. 设 $m = \log_{0.3} 0.6 ， n = \frac{1}{2} \log_{2} 0.6$ ，则（）

A、 $m + n < m n < 0$ B、 $m n < 0 < m + n$ C、 $m + n < 0 < m n$ D、 $m n < m + n < 0$

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8. 元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示.若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中 $\frac{1}{3}$ 的酒量”，即输出值是输入值的 $\frac{1}{3}$ ，则输入的 $x =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{9}{11}$ C、 $\frac{21}{23}$ D、 $\frac{45}{47}$

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9. 已知单位向量 $\overset{⇀}{e_{1}} ， \overset{⇀}{e_{2}}$ 分别与平面直角坐标系 $x ， y$ 轴的正方向同向，且向量 $\overset{⇀}{A C} = 3 \overset{⇀}{e_{1}} - \overset{⇀}{e_{2}}$ ， $\overset{⇀}{B D} = 2 \overset{⇀}{e_{1}} + 6 \overset{⇀}{e_{2}}$ ，则平面四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $2 \sqrt{10}$ C、10 D、20

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10. 函数 $f (x) = x \ln \frac{2 - \sin x}{2 + \sin x}$ 的部分图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{7}{2} x - x \ln x ， x > 0 \\ - x^{2} ， x \leq 0 \end{array}$ ，令函数 $g (x) = f (x) - \frac{3}{2} x - a$ ，若函数 $g (x)$ 有两个不同零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{9}{16} ， e)$ B、 $(- \infty ， 0)$ C、 $(- \infty ， 0) \cup (\frac{9}{16} ， e)$ D、 $(- \infty ， 0) \cup [\frac{9}{16} ， e]$

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12. 已知 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} | \sin π x |$ ， $A_{1} ， A_{2} ， A_{3}$ 为图象的顶点，O，B，C，D为 $f (x)$ 与x轴的交点，线段 $A_{3} D$ 上有五个不同的点 $Q_{1} ， Q_{2} ， \dots ， Q_{5}$ ．记 $n_{i} = \overset{⇀}{O A_{2}} \cdot \overset{⇀}{O Q_{i}} (i = 1 ， 2 ， \dots ， 5)$ ，则 $n_{1} + \dots + n_{5}$ 的值为（）

A、 $\frac{15}{2} \sqrt{3}$ B、45 C、 $\frac{45}{2}$ D、 $\frac{15}{4} \sqrt{3}$

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二、填空题

13. 命题“ $\forall x \in R ， f (x) ⩽ x$ ”的否定形式是.

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14. 如图，函数 $f (x)$ 的图象是折线段 $A B C$ ，其中 $A ， B ， C$ 的坐标分别为 $(0 ， 4) ， (2 ， 0) ， (6 ， 4)$ ，则 $f (f (0)) =$ ；函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的导数 $f^{'} (1) =$ ．

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15. 如图，在单位圆中， $7 S_{Δ P O N} = 2 \sqrt{3} ， Δ M O N$ 为等边三角形， $M$ 、 $N$ 分别在单位圆的第一、二象限内运动，则 $\sin ∠ P O M =$ .

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16. 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，则 $\frac{b}{c}$ ＋ $\frac{c}{b}$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 已知 ${a_{n}}$ 是递增的等差数列，且满足 $a_{2} + a_{4} = 20 ， a_{1} \cdot a_{5} = 36$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{2} a_{n} - 30 (n \in N^{*})$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ 的最小值.

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18. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，且满足 $\frac{\tan A}{\tan C} = \frac{a}{2 b - a}$ ．

(1)、求角C；

(2)、设 $D$ 为边 $A B$ 的中点， $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，求边 $C D$ 的最小值．

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 是菱形， $D$ 为 $A B$ 的中点， $Δ A B C$ 为等腰直角三角形， $∠ A C B = \frac{π}{2} ， ∠ A B B_{1} = \frac{π}{3}$ ，且 $A B = B_{1} C$ .

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、求 $C D$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值.

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20. 某校为了解学生一周的课外阅读情况，随机抽取了100名学生对其进行调查.下面是根据调查结果绘制的一周学生阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，且将一周课外阅读时间不低于200分钟的学生称为“阅读爱好”，低于200分钟的学生称为“非阅读爱好”.

附：

$P (K^{2} ⩾ k_{0})$	0.10	0.050	0.025	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (d + d)} ， n = a + b + c + d$ .

(1)、根据已知条件完成下面

2 \times 2

列联表，并据此判断是否有97.5%的把握认为“阅读爱好”与性别有关？

	非阅读爱好	阅读爱好	合计
男女			50
合计		14
男女

(2)、将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取4人，记被抽取的四人中“阅读爱好”的人数为

ξ

，若每次抽取的结果是相互独立的，求

ξ

的分布列和数学期望

E ξ

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21. 已知函数 $f (x) = e^{a x + b} (a ， b \in R)$ 的图象与直线 $l ： y = x + 1$ 相切， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，且 $f^{'} (1) = e$ .

(1)、求 $f (x)$ ；

(2)、函数 $g (x)$ 的图象与曲线 $y = k f (x) (k \in R)$ 关于 $y$ 轴对称，若直线 $l$ 与函数 $g (x)$ 的图象有两个不同的交点 $A (x_{1} ， g (x_{1})) ， B (x_{2} ， g (x_{2}))$ ，求证： $x_{1} + x_{2} < - 4$ .

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 5 + \sqrt{10} \cos φ \\ y = \sqrt{10} \sin φ \end{array} (φ 为参数)$ ，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 \cos θ$ ．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 两交点所在直线的极坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ \sin (θ + \frac{π}{4}) = 2 \sqrt{2}$ ，直线 $l$ 与 $y$ 轴的交点为 $M$ ，与曲线 $C_{1}$ 相交于 $A ， B$ 两点，求 $| M A | + | M B |$ 的值．

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23. 已知x，y，z均为正数．

(1)、若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；

(2)、若 $\frac{x y z}{x + y + z}$ ＝ $\frac{1}{3}$ ，求2^xy⋅2^yz⋅2^xz的最小值．

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